- •Дивергенция
- •Определение
- •[Править]Определение в декартовых координатах
- •[Править]Физическая интерпретация
- •[Править]Геометрическая интерпретация
- •[Править]Дивергенция в физике
- •[Править]Свойства
- •Теорема о циркуляции
- •Закон сохранения заряда в интегральной форме
- •Закон сохранения заряда в дифференциальной форме
- •Напряжённость электрического поля точечного заряда [править]Для системы си
- •.2. Принцип суперпозиции для вектора напряженности электростатического поля
- •Диэлектрическая проницаемость
- •Потенциальная энергия
- •Поляризация диэлектриков
- •18.2. Вывод закона Ома в дифференциальной форме в классической электронной теории
- •Законы Кирхгофа
- •Формулировка
- •[Править]Первый закон
- •[Править]Второй закон
Теорема о циркуляции
Поскольку электростатическое поле является центральным, то силы, действующие на заряд в таком поле, являются консервативными (см. любой учебник по механике). Так как Edl представляет собой элементарную работу, которые силы поля производят над единичным зарядом, а работа консервативных сил на замкнутом пути равна нулю, то
|
(2.18) |
Это утверждение называется теоремой о циркуляции вектора E.
Теорема Стокса — одна из основных теорем дифференциальной геометрии и математического анализа об интегрированиидифференциальных форм, которая обобщает несколько теорем анализа. Названа в честь Дж. Г. Стокса.
Общая формулировка
Пусть на ориентируемом многообразии размерности заданы ориентируемое -мерное подмногообразие идифференциальная форма степени класса ( ). Тогда, если граница подмногообразия положительно ориентирована, то
где обозначает внешний дифференциал формы .
Теорема распространяется на линейные комбинации подмногообразий одной размерности, так называемые цепи. В этом случае формула Стокса реализует двойственность между когомологией де Рама и гомологией циклов многообразия .
Ро́тор, или вихрь — векторный дифференциальный оператор над векторным полем.
Обозначается
(в русскоязычной литературе) или
(в англоязычной литературе),
а также - как векторное умножение дифференциального оператора набла на векторное поле:
Результат действия этого оператора на конкретное векторное поле F называется ротором поля F или, короче, просто ротором F и представляет собой новое векторное[1] поле:
Поле rot F (длина и направление вектора rot F в каждой точке пространства) характеризует в некотором смысле[2] вращательную составляющую поля F соответственно в каждой точке.
Математическое определение
Ротор векторного поля — есть вектор, проекция которого на каждое направление n есть предел отношенияциркуляции векторного поля по контуру L, являющемуся краем плоской площадки ΔS, перпендикулярной этому направлению, к величине этой площадки, когда размеры площадки стремятся к нулю, а сама площадка стягивается в точку:
.
Направление обхода контура выбирается так, чтобы, если смотреть в направлении , контур L обходился по часовой стрелке[3].
В трёхмерной декартовой системе координат ротор (в соответствии с определением выше) вычисляется следующим образом (здесьF - обозначено некое векторное поле с декартовыми компонентами ; i, j, k - орты декартовых координат):
или
(что можно считать альтернативным определением, по сути совпадающим с определением в начале параграфа, по крайней мере при условии дифференцируемости компонент поля).
Для удобства можно формально представлять ротор как векторное произведение оператора набла (слева) и векторного поля:
Закон кулона
Иначе: Два точечных заряда в вакууме действуют друг на друга с силами, которые пропорциональны произведению модулей этих зарядов, обратно пропорциональны квадрату расстояния между ними и направлены вдоль прямой, соединяющей эти заряды. Эти силы называются электростатическими (кулоновскими).
Важно отметить, что для того, чтобы закон был верен, необходимы:
точечность зарядов — то есть расстояние между заряженными телами много больше их размеров — впрочем, можно доказать, что сила взаимодействия двух объёмно распределённых зарядов со сферически симметричными непересекающимися пространственными распределениями равна силе взаимодействия двух эквивалентных точечных зарядов, размещённых в центрах сферической симметрии;
их неподвижность. Иначе вступают в силу дополнительные эффекты: магнитное поле движущегося заряда и соответствующая ему дополнительная сила Лоренца, действующая на другой движущийся заряд;
взаимодействие в вакууме.
Однако с некоторыми корректировками закон справедлив также для взаимодействий зарядов в среде и для движущихся зарядов.[1]
В векторном виде в формулировке Ш. Кулона закон записывается следующим образом:
где — сила, с которой заряд 1 действует на заряд 2; — величина зарядов; — радиус-вектор (вектор, направленный от заряда 1 к заряду 2, и равный, по модулю, расстоянию между зарядами — ); — коэффициент пропорциональности. Таким образом, закон указывает, что одноимённые заряды отталкиваются (а разноимённые — притягиваются).
Закон сохранения электрического заряда гласит, что алгебраическая сумма зарядов электрически замкнутой системысохраняется.
Закон сохранения заряда выполняется абсолютно точно. На данный момент его происхождение объясняют следствием принципакалибровочной инвариантности[1][2]. Требование релятивистской инвариантности приводит к тому, что закон сохранения заряда имеетлокальный характер: изменение заряда в любом наперёд заданном объёме равно потоку заряда через его границу. В изначальной формулировке был бы возможен следующий процесс: заряд исчезает в одной точке пространства и мгновенно возникает в другой. Однако, такой процесс был бы релятивистски неинвариантен: из-за относительности одновременности в некоторых системах отсчёта заряд появился бы в новом месте до того, как исчез в предыдущем, а в некоторых — заряд появился бы в новом месте спустя некоторое время после исчезновения в предыдущем. То есть был бы отрезок времени, в течение которого заряд не сохраняется. Требование локальности позволяет записать закон сохранения заряда в дифференциальной и интегральной форме