[Править]Геометрическая интерпретация
Если в качестве векторного поля (на двумерном пространстве) взять совокупность направлений наискорейшего спуска на земной поверхности, то дивергенция покажет местоположение вершин и впадин, причём на вершинах дивергенция будет положительна (направления спуска расходятся от вершин), а на впадинах отрицательная (ко впадинам направления спуска сходятся).
[Править]Дивергенция в физике
Дивергенция - одна из наиболее широко употребимых в физике операций. Представляет собой одно из достаточно немногих базовых понятий теоретической физики и является одним из базовых элементов физического языка.
В стандартной формулировке классической теории поля дивиргенция занимает центральное место (в альтернативных формулировках может не находиться в самом центре изложения, но всё равно остается важным техническим инструментом и важной идеей).
В электродинамике дивергенция входит в качестве главной конструкции в два из четырех уравнений Максвелла. Основное уравнение теории ньютоновской гравитации в полевом виде также содержит в качестве основной конструкции дивергенцию (напряженности гравитационного поля). В тензорных теориях гравитации (включая ОТО, и имея в виду в первую очередь ее) основное полевое уравнение (в ОТО, но как правило - так или иначе - и в альтернативных современных теориях тоже) также включает в себя дивергенцию в некотором обобщении. То же можно сказать о классической (т.е. неквантовой) теории практически любого из фундаментальных полей, как экспериментально известных, так и гипотетических.
Помимо этого, как видно из приведенных выше примеров, дивергенция применима и в чисто геометрическом плане, а также - особенно часто - к различным материальным потокам (дивергенция скорости течения жидкости или газа, дивергенция плотности электрического тока итп).
[Править]Свойства
Следующие свойства могут быть получены из обычных правил дифференцирования.
Линейность: для любых векторных полей F и G и для всех вещественных чисел a и b
Если φ — скалярное поле, а F — векторное, тогда:
или
Свойство, связывающее векторные поля F и G, заданные в трёхмерном пространстве, с ротором:
или
Дивергенция от градиента есть лапласиан:
Дивергенция от ротора:
[править]Дивергенция в ортогональных криволинейных координатах
,
где 
— коэффициенты
Ламе.
[править]Цилиндрические координаты
Коэффициенты Ламе:
.
Отсюда:
[править]Сферические координаты
Коэффициенты Ламе:
.
Отсюда:
[править]Параболические координаты
Коэффициенты Ламе:
.
Отсюда:
[править]Эллиптические координаты
Коэффициенты Ламе:
.
Отсюда:
[править]
Теорема Остроградского-Гаусса
Поток вектора a через произвольную замкнутую поверхность S равен интегралу дивергенции этого вектора по объему V, ограниченному этой поверхностью:
|
(2.15) |
Разобъем весь объем, заключенный внутри поверхности S на элементарные кубики типа изображенных на рис. 2.7. Грани всех кубиков можно разделить на внешние, совпадающие с поверхностью S и внутренние, граничащие только со смежными кубиками. Сделаем кубики настолько маленькими, чтобы внешние грани точно воспроизводили форму поверхности. Поток вектора a через поверхность каждого элементарного кубика равен
,
а суммарный поток через все кубики, заполняющие объем V, есть
|
(2.16) |
Рассмотрим входящую в последнее выражение сумму потоков dФ через каждый из элементарных кубиков. Очевидно, что в эту сумму поток вектора a через каждую из внутренних граней войдет дважды.
Рис. 2.8 |
Рассмотрим два смежных кубика , поверхности которых обозначены как S1 и S2 (рис. 2.8), причем смежная грань входит как в S1 так и в S2. Очевидно, что при подсчете потока через S1 угол между внешней нормалью к этой грани и вектором а острый и вклад от этой грани в поток будет положительным. А при подсчете потока через S2 вклад от этой грани будет, очевидно, отрицательным. |
Тогда полный поток через поверхность S=S1+S2 будет равен сумме потоков через только внешние грани, поскольку сумма потоков через внутреннюю грань даст ноль. По аналогии можно заключить, что все относящиеся к внутренним граням члены суммы в левой части выражения (2.16), сократятся. Тогда, переходя в силу элементарности размеров кубиков от суммирования к интегрированию, получим выражение (2.15), где интегрирование производится по поверхности, ограничивающей объем.
Заменим в соответствии с теоремой Остроградского-Гаусса поверхностный интеграл в (2.12) объемным
и представим суммарный заряд как интеграл от объемной плотности по объему
Тогда получим следующее выражение
Полученное соотношение должно выполняться для любого произвольно выбранного объема V. Это возможно только в том случае, если значения подинтегральных функций в каждой точке объема одинаковы. Тогда можно записать
|
(2.17) |
Последнее выражение представляет собой теорему Гаусса в дифференциальной форме.