1. Поняття множини. Рівність множин.

Множина- первинне визначення математичного аналізу. Поняття множини вважається первісним і інтуїтивним. Множина задається правилом або ознакою відповідно до якого визнач. чи належить деякий елемент множ. чи ні.

Позн.:А={а} – множина складається з одного елементу або а є представником елемента множини.

Множину можна задавати за допомогою переліку її елементів А={а ,в, с...}

є А- елемент а належить множині А

- а не належить множині А

Елементи множини А, що мають власн. Р

А₁={а єА (а має вл. Р)}

А₁ ={а: (а є А) (а має вл. Р)}

Тоді

В підмножина А

Позначимо - універсальна множина та будемо розглядати всі інші множини як підмножини універсальної.

Порожньою множиною наз. множина, що не містить жодного елемента.

Множина А і В назив. Рівними, якщо вони містять одні й ті самі елементи

А =В (А В) (В А)

Позначення

Множина натуральних чисел : N= {1,2,3…}

Z₀- множина не „-” цілих чисел

Z₀- {0,1,2,3…}

Z- {0, 1, 2…}

Q= { }

Q- раціональні

С- комплексні

На множину натуральних чисел вводиться операція „+”і виконуються такі влас. (аксіоми):

• якщо n є N ( n +1) є N

• 1 є М (деяка множина), (n є М ( n +1) є М ) N М- аксіома індукції

2. Операції над множинами.

Перерізом множин А і В наз. Множина, що складається із спільних елементів множин А і В

Для ілюстрації операції викор. круги Ейлера або діаграми Вєна.

Об’єднана множина А і В, наз. множина яка містить тільки ті елементи, які належать А або належать В

Різницею множини А і В наз. множина, яка містить тільки ті елементи, що належать А і не належать В .

Симетрична різниця:

Доповненням множ. А наз. множ., яка міст тільки ті елем, що не належ А.

Поняття перерізу і об’єдн множин можна поширити на декілька множин

Властивості операцій над множинами:

1) - ця властивість означає, що відносно операц. Перерізу та об’єднання є замкненою.

2) - комутативність 3) - асоціативність

4) 5) 6) ) 7) 8) 9) або - правило де Моргана

Впорядкованою парою елементів а є А, в є В, наз. послідовність (а, в), якщо чітко вказано номер компоненти.Декартовим добутком множ. А і В наз. множина всіх впорядкованих пар елементів множин А і В.

3. Означення функції. Види відображень.

Відображенням множини Х у множину У називають відповідність яка кожному елем. Множ. Х ставить у відповід. єдиний елемент множини У.

Позначимо ф-ї або відображення:

1)

2)

3)

В цьому випадку кажуть, що ф-я задана явно, тобто з-н відповід. між елементами множин. Формалізований за допомогою матр. формули.

4)

Елементи наз. -незалежна зміна –аргумент-прообраз елемен. у=f(x)при відображенні f.

Елемент у = f(х)=У наз. –знач. функції- залежна зміна – образ елемента х при відображ. f.

Х-область визначення функції

У_f-область значень функції

Розглянемо такі підмножини

Образом множини D при відображенні f наз. Множина f(D)

Позначимо звуження відображення f на множину

Прообразом множ. Е при відображенні f наз. множина

Аналогічно позначається то тоді

Відображення наз. Ін”єктивним, сюр”активним, бієктивним.

Ін”єктивним –якщо різним значенням аргумента відповідають різні значення функції, або якщо для р-ня f(х)=у має не більше ніж один корінь.

Відображення назив. сюр”єктивним якщо обл.. з-нь відображень збігається з або якщо р-ня f(x)y=y

Відображення наз. бієктивним відображенням х на у якщо воно ін”єктивне і сур”єктивне одночасно або якщо для будь якого у є У р-ня f(х)=У має єдиний розв’язок.

Графіком відображ.