2. Расчет спектра сигнала на выходе нелинейного преобразователя

Чтобы получить гармоники колебания, вырабатываемого RC-генератором, это колебание следует подать на нелинейный преобразователь, в качестве которого используется полевой транзистор КП305И. Таким образом, каскадно с генератором включается нелинейный преобразователь, схема которого представлена на рисунке 2.1. Его цель – исказить гармонический сигнал так, чтобы в составе его спектра появились гармоники с достаточно большими амплитудами.

Рисунок 2.1 Схема нелинейного преобразователя

Напряжение, подаваемое на вход нелинейного преобразователя, имеет вид В. Используя проходную ВАХ транзистора, графически определяем вид тока на выходе нелинейного преобразователя. (рис.2.2)

Рисунок 2.2 Проходная ВАХ нелинейного элемента

Для расчета спектра тока и напряжения на выходе нелинейного преобразователя необходимо сделать кусочно-линейную аппроксимацию ВАХ .

По ВАХ определяем напряжение отсечки

Рассчитаем крутизну:

(2.1)

Для расчета крутизны выбираем любую точку на прямой, аппроксимирующей ВАХ, например , тогда

Рассчитываем угол отсечки по формуле:

(2.2)

Вычисляем функции Берга:

(2.3)

Постоянная составляющая и амплитуды гармоник спектра тока рассчитываются по формуле:

(2.4)

где - функции Берга, - крутизна, k=0,1,2…

Ограничиваясь четвертой гармоникой, имеем:

Напряжение на выходе нелинейного преобразователя при наличии разделительного конденсатора, не пропускающего постоянную составляющую , где =1 кОм

Спектры амплитуд тока и напряжения приведены на рисунке 2.3(а, б)

Рисунок 2.3 Спектры амплитуд тока (а) и напряжения (б)

На этом можно считать расчет нелинейного преобразователя законченным. Мы получили спектр сигнала на выходе нелинейного преобразователя.

3. Расчет электрических фильтров

Для выделения колебаний заданных частот необходимо рассчитать полосовые фильтры, у частотных характеристик которых центры эффективного пропускания совпадали бы с этими частотами. Кроме того, заданными являются неравномерность ослабления в полосе эффективного пропускания и минимально-допустимое ослабление в полосе эффективного непропускания каждого фильтра, а также значение амплитуды выходного напряжения.

В качестве полосового фильтра берем полиномиальные фильтры Чебышева. Каждый фильтр выделяет свою гармонику. Частоты соседних гармоник должны попадать в полосу непропускания фильтра. Характеристика ослабления фильтра должна обладать геометрической симметрией относительно выделяемой гармоники. Это имеет место при выполнении условия (рис. 3.1)

(3.1)

Рисунок 3.1

Расчет полосового фильтра обычно сводят к расчету НЧ-прототипа. Рассчитаем фильтры для второй и третьей гармоники.

3.1. Расчет второй гармоники

Для определения нормированной частоты НЧ-прототипа, соответствующей границе ПЭН , необходимо воспользоваться графиками, приведенными на рисунке 3.2. При этом вначале по заданным значениям =3 дБ и =34 дБ определяем, что вспомогательная функция D=33, а затем, выбрав приемлемый порядок фильтра-прототипа n=3, для полученного значения D определяем =2.5.

Рисунок 3.2

Далее необходимо задаться одной из четырех неизвестных (например ω₃). Из соотношения для (3.1) определяют , а затем, учитывая известную связь

(3.2)

находим частоты полосы эффективного пропускания и .

Частота второй гармоники равна 25 кГц, следовательно, кГц. Находим граничные частоты ПЭП и ПЭН.

(3.3)

Тогда, рад/с

Учитывая (3.1), и задавшись кГц, т.е рад/с, найдем по формуле:

(3.4)

Получим =130899.67 рад/с.

Учитывая соотношение (3.2), определим

=23038.35 рад/с

где - ширина эффективного пропускания

Решая совместно систему

(3.5)

получаем:

Таким образом, граничные частоты:

;

;

;

;

В число расчетных частот необходимо включить граничные частоты полос эффективного пропускания и непропускания, а так­же те частоты ПЭП, на которых ослабление (АЧХ) фильтра при­нимает минимальные и максимальные значения.

Найдем эти частоты. Для n=3 нормированные минимальные и максимальные частоты будут равны ; ; ; .

Для нахождения соответствующих частот характеристики воспользуемся формулами (3.6):

(3.6)

где ; - центральная частота;

В результате расчетов получим

,

,

Тогда , ,

,

Расчёт АЧХ, а также ослабления от частоты производится на основе полученной при апроксимации рабочей передаточной функции H(p), путем замены р=j. При этом сначала на выбранных частотах рассчитываем АЧХ и ослабление отдельных звеньев, а затем всего фильтра, использую соотношение (3.7):

(3.7)

Ослабление фильтра связано с АЧХ выражением:

(3.8)

Результаты расчётов АЧХ и ослабления отдельных звеньев и всего фильтра удобно свести в таблицу 3.1:

f, кГц	20.83	23.23	23.46	24.1	25	26	26.64	26.9	30
H1	0.25	0.6	0.69	1.08	2.11	1.03	0.69	0.6	0.25
H2	0.17	0.31	0.33	0.42	0.64	1.48	3.84	3.33	0.37
H3	0.42	3.78	4.39	1.57	0.74	0.47	0.38	0.35	0.2
A1	12.03	4.39	3.26	-0.69	-6.49	-0.25	3.25	4.38	12.03
A2	15.29	10.23	9.6	7.59	3.82	-3.43	-11.7	-10.49	8.63
A3	7.49	-11.54	-12.86	-3.9	2.67	6.65	8.64	9.07	14.3
H фильтр.	0.02	0.7	1.00	0.71	1	0.71	1.00	0.7	0.02
A фильтр.	34.81	3.08	0	3	0	2.97	0	2.99	34.79

Таблица 3.1. Характеристики фильтра.

Полученная частотная зависимость ослабления удовлетворяет заданным нормам ΔА и A_min. По результатам расчётов построим графики АЧХ (рис.3.3) и зависимость ослабления от частоты полосового фильтра (рис.3.4).

Рисунок 3.3 Амплитудно-частотная характеристика

Рисунок 3.4 Зависимость ослабления от частоты

По заданному и выбранному порядку фильтра находим полюсы передаточной функция НЧ-прототипа: ;

Денормирование и конструирование передаточной функции осуществляется в два этапа:

1). Находим полюсы передаточной функции полосового фильтра по известным полюсам НЧ-прототипа. Для этого воспользуемся соотношением:

(3.9)

где - ширина полосы эффективного пропускания (ПЭП);

- центральная частота ПЭП фильтра;

- i-ый полюс передаточной функции НЧ-прототипа

Полученные значения полюсов представим в виде таблицы 3.2:

Таблица 3.2 - Полюсы H(p) полосового фильтра

Номер полюса	Полюсы H(p) полосового фильтра
1,2	3440.17	157041.96
3,6	1833.86	167827.11
5,4	1606.31	147002.86

Одной паре комплексно-сопряженных полюсов передаточной функции НЧ-прототипа соответствует две пары комплексно-сопряженных полюсов передаточной функции полосового фильтра. Одному вещественному полюсу НЧ-прототипа соответствует одна пара комплексно-сопряженных полюсов H(p) полосового фильтра.

2). Формируем передаточную функцию полосово­го фильтра в виде произведения сомножителей второго порядка:

(3.10)

Каждый сомножитель соответствует одной паре комплексно-сопряженных полюсов. Коэффициенты числителя и знаменателя определяются из следующих соотношений:

(3.11)

где - коэффициент неравномерности ослабления в полосе пропускания; и - действительная и мнимая части i-го полюса передаточной функции полосового фильтра; коэффициенты при p в знаменателях сомножителей , а свободные члены .

Их значения сведем в таблицу 3.3.

Таблица 3.3 - Коэффициенты передаточной функции

Номер сомножителя	Значения коэффициентов
1	14526	6880	24674011003
2	14526	3668	28169301936
3	14526	3213	21612421221

Тогда передаточная функция искомого ПФ запишется:

Найденная таким образом передаточная функция полосового фильтра является денормированной и в дальнейшем подлежит реализации.

Каждый сомножитель передаточной функции реализуется в виде ARC - цепи второго порядка. Соответствующие звенья соединяются каскадно в порядке возрастания их добротностей.

Для реализации полученной передаточной функции необходимо выбрать тип звеньев, для чего найдем вначале добротности по­люсов соответствующих сомножителей, используя соотношение:

(3.12)

В результате расчёта , , .

Для реализации всех сомножителя используем схему представленную на рисунке(3.5), т.к. добротности Q>10:

Рисунок.3.5 Схема звена ПФ с добротностью Q>10

Передаточная функция для этой схемы записывается следующим образом:

(3.13)

Составим и решим систему уравнений, определяя, таким образом, значения элементов , звеньев фильтра. Для составления системы уравнений приравниваются коэффициенты , , соответствующего сомножителя реализуемой передаточной функции к коэффициентам передаточной функции выбранного звена.

(3.14)

Зададимся

Выбираем , где - частота полюса, определяемая по формуле(3.15):

(3.15)

Рассчитаем элементы первого звена.

Для первого звена частота полюса по формуле (3.15): , тогда

Решаем систему уравнений относительно переменных получим:

Рассчитаем элементы второго звена.

Для второго звена частота полюса, по формуле (3.15): , тогда

Решаем систему уравнений относительно переменных получим:

Рассчитаем элементы третьего звена.

Для третьего звена частота полюса, по формуле (3.15): , тогда

Решаем систему уравнений относительно переменных получим:

Результаты вычислений сведем в таблицу 3.4

Таблица 3.4 Значения элементов фильтра

Первое звено
R1 кОм	R2 кОм	R3 кОм	R4 кОм	R5 кОм	C6 нФ	C7 нФ
1.27	1.27	1.145	1.42	29	5	5

Второе звено
R8 кОм	R9 кОм	R10 кОм	R11 кОм	R12 кОм	C13 нФ	C14 нФ
1.19	1.19	0.402	3.53	54.5	5	5

Третье звено
R15 кОм	R16 кОм	R17 кОм	R18 кОм	R19 кОм	C21 нФ	C22 нФ
1.36	1.36	0.386	4.8	62.3	5	5

На этом закончен расчет первого фильтра, для второй гармоники.