50) Формула Грина.

Формула Грина. Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от вида пути интегрирования

Пусть D - некоторая замкнутая область на плоскости хОу, ограниченная контуром L. На ней заданы функции Р = Р(х,у) и Q = Q(x,y), непрерывные на D вместе со своими частными производными первого порядка. Формула Грина связывает криволинейный интеграл второго рода по L с двойным интегралом по области D:

Движение по контуру L - в положительном направлении.

С помощью формулы Грина значение криволинейного интеграла по замкнутому контуру можно найти, вычислив двойной интеграл.

51) Дифференциальные уравнения 1-го порядка, задача Коши

Разрешив уравнение F(x, y, y’)=0 относительно y’ (если возможно), получим уравнение y’=f(x,y), которое называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Общий вид дифференциального уравнения первого порядка:

P(x,y)dx + Q(x,y)dy=0

Геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка:

Угловой коэффициент касательной к интегралу кривой в каждой ее точке равен значению в этой точке правой части дифференциального уравнения y’=f(x,y).

Функция y=φ(x,c), зависящая от аргумента x и произвольной постоянной с называется общим решением ДУ в некоторой области Д, если она удовлетворяет двум условиям:

1.      Она удовлетворяет уравнению при любых конкретных значениях с

2.      Каково бы ни было задано условие y(x₀)=y₀, можно найти такое значение с = с₀, что функция y=φ(x,c₀) удовлетворяла этому условию.

Если общее решение ДУ задано в неявном виде, то оно называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Частным решением ДУ называется любая функция y=φ(x,c₀), которая получается из общего решения y=φ(x,c), при конкретном значении с.

Задача нахождения частного решения ДУ, удовлетворяющего заданному начальному условию, называется задачей Коши.

Решить дифференциальное уравнение значит найти его общее решение или общий интеграл, если не заданы начальные условия, или найти то частное решение, которое удовлетворяет заданному начальному условию.

Теорема существования и единственности решения задачи Коши (теорема Коши)

Если уравнение функции f(x) и ее частная производная df/dy непрерывны в некоторой области Д, то данное уравнение имеет единственное решение удовлетворяющее условию y(x₀)=y₀

В точках плоскости, в которых нарушены условия теоремы Коши, называются особыми точками дифференциального уравнения. В этих точках терпит разрыв либо функция f(x,y) либо ее производная. Через каждую из таких точек может проходить либо несколько интегральных кривых, либо не проходит не одной.

Если линия состоит только из особых точек и является интегральной кривой ДУ, то функция y=φ(x) называется особым решением дифференциального уравнения.

Для того, чтобы найти особое решение ДУ, надо найти линию y=φ(x), в каждой точке которой терпит разрыв функция f(x,y) или ее производная, проверить является ли функция y=φ(x) решением данного уравнения.

Особое решение не содержится в общем решении , и не может быть выделено из него ни при каком конкретном значении с.