Изучение свободных колебаний физического маятника Краткая теория.

Р ассмотрим колебательное движение физического маятника.

Физический маятник – твердое тело произвольной формы, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через центр масс тела.

Тело подвешено в точке О, не совпадающей с центром масс тела С (рис.1). Запишем основной закон динамики вращательного движения:

(1)

где I – момент инерции тела относительно оси вращения, – угловое ускорение тела, – момент силы тяжести, – радиус-вектор центра масс. Учитывая, что проекция момента силы тяжести на ось z равна M_Z = -mglsinφ, получаем:

. (2)

При колебаниях, происходящих с малой амплитудой, можно считать,

что sinφ≈φ. Обозначим , тогда уравнение (2) запишется в виде:

. (3)

Решением этого уравнения является гармоническая функция, например:

, (4)

где A – амплитуда колебаний, ω₀ – циклическая частота, ₀ – начальная фаза колебаний.

Непосредственной подстановкой можно убедиться, что функция (4) является решением уравнения (3).

Период колебаний маятника определяется по формуле:

, (5)

при малых углах отклонения:

, (6)

где l_пр – приведенная длина маятника, то есть длина такого математического маятника, период колебаний которого равен периоду колебаний физического.

Определим положение центра масс маятника аналитически. Обозна­чим расстояние между опорами оборотного маятника L. Тогда на основании (6) момент инерции маятника равен:

, (7)

где l – расстояние от точки подвеса до центра масс, T₁ – период колебаний маятника.

Для оборотного маятника справедлива формула:

. (8)

Воспользуемся теоремой Штейнера для определения момента инерции тела при параллельном переносе оси вращения:

. (9)

где I₀ – момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела.

Для оборотного маятника имеем:

. (10)

Из (10) вычитаем (9), вместо моментов инерции тала поставляем их значения из (8) и (7). После преобразований получаем:

. (11)

Определив положение центра масс несложно определить и моменты инерции относительно двух осей вращения, по формулам (7) и (8).

Перепишем соотношение (6) с учетом теоремы Штейнера:

. (12)

Если положение грузов маятника таково, что его период не изменяется при обращении, то

. (13)

С учетом (9) и (10) имеем

и . (14)

Разность между двумя последними выражениями дает:

. (15)

Экспериментальная установка.

О борудование: физический маятник, математический маятник, опорная призма, секундомер, линейка, весы с разновесами.

Физический маятник (рис.2) представляет собой металлический стержень 1, на котором крепятся две опоры 3 и грузы 2. Положение центра масс определяется с помощью опорной призмы 4. Расстояние измеряются при помощи линейки. Для определения периода колебаний используется секундомер.

Проведение эксперимента.

Задание 1. Определение момента инерции физического маятника и его приведенной длины.

1. Определите массу физического маятника.

2. Произвольно установите грузы на металлическом стержне.

3. Экспериментально, используя опорную призму, установите положение центра масс маятника. Измерьте расстояние l от одной из опор до центра масс.

4. Измерьте время 20-30 колебаний маятника небольшой амплитуды и вычислите их период. Результаты занесите в таблицу 1.

5. Рядом с физическим маятником подвесьте математический маятник такой длины, чтобы период его колебаний равнялся периоду колебаний физического маятника. Измерьте приведенную длину l_пр.

6. Используя формулу (6) вычислите момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку опоры и перпендикулярной плоскости колебаний маятника. Вычислите приведенную длину l'_пр.

7. Определите момент инерции маятника относительно оси, проходящей через другую опору, и соответствующие экспериментальные и теоретические значения приведенной длины.

8. Аналитическим методом найдите погрешность определения момента инерции, результат запишите в виде I = (I₀ ± ΔI).

9. Приведите пример вычислений всех расчетных величин.

Таблица 1.

Опыт	Результаты измерений						Вычисления
	m	l	n	t	T	lпр	I	ΔI	l'пр
1
2

Задание 2. Определение положения центра масс физического маятника методом обращения.

1. Используя данные, полученные в задании 1, теоретически установите положение центра масс маятника, сравните полученное значение с найденным экспериментально. Результаты вычислений внесите в таблицу 2.

2. Определите погрешность проведенных вычислений, считая истинным положение центра масс, полученное экспериментально.

1. Приведите пример вычислений всех расчетных величин.

Таблица 2.

T1

ΔT1

T2

ΔT2

L

ΔL

g

Δg

π

Δπ

l

lΔ

δl

Задание 3. Определение ускорения силы тяжести оборотным маятником.

1. Зафиксируйте положение одного из грузов.

2. Перемещая второй груз, подберите такое его положение, при котором период маятника не изменяется при его обращении.

3. Измерьте период колебаний, измеряя время 20-30 полных колебаний для маятника на обеих опорах, вычислите среднее значение периода.

4. Результаты измерений и вычислений занесите в таблицу 3.

5. Аналитически рассчитайте погрешность определения ускорения свободного падения оборотным маятником.

6. Приведите пример вычисления.

Таблица 3.

Результаты измерений

Результаты вычислений

n1

t1

T1

n2

t2

T2

L

T

ΔT

g

Δg

δg

Задание 4. Изучение зависимости момента инерции маятника от положения подвижного груза.

1. Установите произвольно один из грузов и зафиксируйте его положение.

1. Установите второй груз в крайнее положение. Запишите его координату x. Измерьте период колебаний маятника Т₁, расстояние от оси вращения до центра масс l₁ и приведенную длину l_пр1 маятника описанным выше способом.

2. Вычислите момент инерции маятника I₁ относительно оси вращения. Аналитически найдите его погрешность Δ I₁.

3. Повторите измерения для другой опоры, найдя Т₂, l₂, l_пр2, I₂ и ΔI₂. Результат занесите в таблицу 4.

4. Последовательно перемещая груз на 1-2 см, занося его координату в таблицу, проведите 10 опытов, определяя все перечисленные величины.

2. Приведите пример вычисления всех расчетных величин.

3. Постройте графики Т₁ = Т₁(х), и Т₂ = Т₂(x) в одной системе координат.

5. По графику установите положение груза, при котором Т₁ = Т₂, установите его в это положение и убедитесь в равенстве периодов.

6. Экспериментально установите приведенную длину маятника, сравните ее с расстоянием между опорами.

7. Постройте графики I₁ = I₁(х), и I₂ = I₂(х) в одной системе координат и проанализируйте их.

Таблица 3.

Опыт	Результаты измерений					Вычисления
	x		T	l	lпр	I	Δ I
Опора 1
1..10
Опора 2
1..10

Заключение.

Укажите при каком положении грузов периоды колебаний маятника на обоих опорах одинаковы. Как при этом соотносятся расстояние между опорами и приведенная длина маятника? Охарактеризуйте зависимость периода колебаний (момента инерции) маятника от положения груза на оси вращения и объясните этот результат на качественном уровне.