ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Тверской государственный технический университет

Кафедра «Информационные системы»

Лекции

по курсу

«Теория вероятностей и математическая статистика»

Vetrov_48@mail.ru

Тверь 2010 г.

Случайные события.

Понятие «случайное событие» является важнейшим в теории вероятностей. Под случайным событием понимают такое событие, которое может наступить в данном опыте, а может не наступить. При этом предполагается, что исходов у данного опыта несколько и результат его заранее не известен.

Примерами таких опытов могут быть бросание монеты или кубика, розыгрыш лотерейных билетов, ожидание автобуса на остановке и т.п. Исходами в этих опытах являются соответственно: сторона, которая выпадает при бросании монеты, грань, которая выпадает при бросании кубика, номер выигравшего лотерейного билета, время ожидания автобуса.

Обозначим через Ω множество возможных исходов данного опыта. Элементы этого множества ( т.е. возможные исходы опыта) будем называть элементарными событиями, а само множество Ω - пространством элементарных событий. Если число элементарных событий, составляющих множество Ω, конечное или счетное, то их можно обозначить как ₁, ₂, …, _j…, где _j - j-тый возможный исход опыта. Тогда можно записать: Ω={_j}.

Пример.

Опыт с бросанием монеты имеет два возможных исхода. Это можно записать следующим образом:

Ω={_1, ₂}.

Опыт с бросанием кубика имеет 6 возможных исходов (выпадение граней с номерами 1, 2, 3, 4, 5 или 6). В этом случае множество возможных исходов:

Ω={_1, _2,₃,₄ ,₅ ,₆}.

Определение случайного события.

Пусть Ω конечное множество случайных элементарных событий. Случайным событием А будем называть любое подмножество множества Ω, включая и пустое множество. Очевидно, множество Ω также есть случайное событие.

Случайное событие, которое не произойдёт ни при каких условиях, будем называть невозможным случайным событием. Случайное событие, которое в результате данного опыта обязательно наступает, называют достоверным

Пример: Событие, которое заключается в том, что в результате бросания кубика выпадет четная грань, есть случайное событие. Обозначим это событие как А. Тогда А = {_2,₄ ,₆} и А Ω = {_1, _2,₃,₄ ,₅ ,₆}. Случайное событие В = {_1,₃ ,₅} есть дополнение множества А до множества Ω. Множество Ω есть достоверное событие.

Сложение случайных событий.

Пусть А и В – два случайных события.

Суммой событий А и В называется случайное событие (А + В), которое происходит тогда и только тогда, когда происходит событие А или событие В. Этому соответствует теоретико-множественная операция объединение .

Пример.

Пусть А и В – два случайных события. Ω - результат бросаний кубика с 6 гранями. Событие А – кубик падает чётной гранью вверх.

Событие В – номер выпавшей грани больше трёх.

А={_2,₄ , ₆}

B={₄ ,₅ ,₆}

A+B={_2,₄ ,₅ ,₆}.

Произведение случайных событий.

Произведением случайных событий А и В будем называть событие (А×В или АВ), которое происходит тогда и только тогда, когда события А и В происходят одновременно. АВ есть совместное наступление событий А и В. Этому соответствует теоретико-множественная операция пересечения А∩В.

Пример.

Произведением событий А={_2,₄ , ₆} и B={₄ ,₅ ,₆}при бросании кубика является событие А×В ={₄ , ₆}.

Противоположное событие.

Пусть А – случайное событие.

Противоположным случайным событием называется событие (читается «не А»), которое происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие А. Это соответствует операции дополнения множества А до множества Ω - = Ω\ А. Сумма противоположных событий есть достоверное событие.

Пример.

Для события А – кубик падает чётной гранью вверх противоположным будет событие ={_1, ₃ ,₅} - кубик падает нечётной гранью вверх .

Несовместные события.

Будем называть события А и В несовместными, если они не могут наступить вместе в одном опыте. В противном случае события называются совместными. Например в опыте с бросанием кубика события А = {_2,₄ ,₆} и В = {_1,₃,₅} являются несовместными. Назовем события А₁, А₂, …, А_n попарно несовместными, если из i ≠ j следует несовместность А_i и А_j. Два события А и В будут несовместными если их произведение есть пустое множество.

Несколько событий А₁, А₂, …, А_n образуют полную группу событий, если их сумма образует пространство элементарных событий, т.е. А₁ + А2 + , …, + А_n = Ω, а сами события А₁, А₂, …, А_n - попарно несовместные

Операции над событиями обладают следующими свойствами:

А + В = В + А, - А×В = В × А (переместительное);

(А + В) C = А C + В C, А×В + C = (А + C)× (В + C) (распределительное)

(А + В) + C = А + (В + C), (А×В)×C = А×(В×C) (сочетательный)