6

Практическое занятие 4.

Нелинейные модели парной регрессии и корреляции

Условие: По данным проведенного опроса восьми групп семей известны данные связи расходов населения на продукты питания с уровнем доходов семьи.

Таблица 1. Исходные данные, тыс.руб. на человека

Расходы на продукты питания, y , тыс. руб.	0,9	1,2	1,8	2,2	2,6	2,9	3,3	3,8
Доходы семьи, x , тыс. руб.	1,2	3,1	5,3	7,4	9,6	11,8	14,5	18,7

Задание: исследовать функции

1) линейную у = а + bх + ε

2) полулогарифмическую у = а + b*lnх + ε

3) зависимость у = а + b√х + ε

4) степенную у = а * х^b * ε

Провести сравнительный анализ моделей и выбрать ту, которая наиболее хорошо аппроксимирует исходные данные.

Ход решения

1 Исследование линейной функции у = а + bх + ε

Для удобства дальнейших вычислений составляется таблица (ε=у_i-ŷ).

Таблица 2

№	у	х	х*у	х2	у2	ŷх	у- ŷх	(у- ŷх)2	Аi %
1	0,9	1,2
2	1,2	3,1
3	1,8	5,3
4	2,2	7,4
5	2,6	9,6
6	2,9	11,8
7	3,3	14,5
8	3,8	18,7
Итого
Среднее значение
σ
σ2

1.1 Рассчитываются параметры линейного уравнения парной регрессии по формулами:

;

1.2 Строится уравнение регрессии, делаются выводы об изменении расходов на питание (у) при изменении дохода семьи (х) на 1000 руб.

1.3 Определяется показатель тесноты связи – линейным коэффициентом корреляции r _xy :

Делаются выводы о тесноте связи.

1.4 Определяется коэффициент детерминации r²_xy

D = r²_x * 100%

Делаются выводы о степени дисперсии результата(у расходов на продукты питания) под влиянием дисперсии фактора (х - доходов семьи).

1.5 Оценивается качество уравнения регрессии в целом с помощью F –критерия Фишера:

Табличное значение (k₁ =1, k₂ = n − 2 = 6, α = 0,05): (F табл = 5,99)

Делаются выводы о статистической значимости уравнения в целом.

1.6 Определяется средняя ошибка аппроксимации (с помощью столбца 10 таблицы 2);

Делаются выводы о качестве уравнения регрессии, т. е. о качестве подбора модели к исходным данным.

1.7 На одном графике изображаются исходные данные и линия регрессии.

2. Исследование полулогарифмической функции типа: у = а + b*lnх + ε

Для нахождения параметров регрессии делается замена: z = ln x и составляется вспомогательная таблица 3, (ε=у_i-ŷ)

№	у	х	z	z*у	z2	у2	ŷх	ε	ε2	Аi %
1	0,9	1,2
2	1,2	3,1
3	1,8	5,3
4	2,2	7,4
5	2,6	9,6
6	2,9	11,8
7	3,3	14,5
8	3,8	18,7
Итого
Среднее значение							-	-
σ		-		-	-	-	-	-	-	-
σ2		-		-	-	-	-	-	-	-

2.1 Рассчитываются параметры линейного уравнения парной регрессии по формулами:

;

2.2 Строится уравнение регрессии ŷ_z = а + bz. Заполняются столбцы 8-11 таблицы 3.

Индекс корреляции p_xy находится по формуле

Делаются выводы о тесноте связи.

2.3 Определяется коэффициент детерминации r²_xy

D = r²_x * 100%

2.4 Оценивается качество уравнения регрессии в целом с помощью f –критерия Фишера:

Табличное значение (k₁ =1, k₂ = n − 2 = 6, α = 0,05): (F табл = 5,99)

Делаются выводы о статистической значимости уравнения в целом.

2.5 Определяется средняя ошибка аппроксимации

Делаются выводы о качестве уравнения регрессии, т. е. о качестве подбора модели к исходным данным.

2.6 На одном графике изображаются исходные данные и линия регрессии.

3. Исследование функции с квадратным корнем типа: ŷ_х = a + b √ x

Для нахождения параметров регрессии ŷ_х = a + b √ x делается замена z = √x и составляется вспомогательная таблица 4 ( ε = y_i − ŷ).

Таблица 4

№	у	х	z	z*у	z2	у2	ŷх	ε	ε2	Аi %
1	0,9	1,2
2	1,2	3,1
3	1,8	5,3
4	2,2	7,4
5	2,6	9,6
6	2,9	11,8
7	3,3	14,5
8	3,8	18,7
Итого
Среднее значение							-	-
σ		-		-	-	-	-	-	-	-
σ2		-		-	-	-	-	-	-	-

3.1 Рассчитываются параметры линейного уравнения парной регрессии по формулами:

;

3.2 Строится уравнение регрессии ŷ_z = а + bz. Заполняются столбцы 8-11 таблицы 4.

3.3 Индекс корреляции p_xy находится по формуле

Делаются выводы о тесноте связи.

3.4 Определяется индекс детерминации p²_xy

D = p²_x * 100%