2 1.7. Магнитное поле соленоида и тороида
С
оленоид
представляет
собой цилиндрическую катушку с плотно
намотанным проводом. Рассмотрим магнитное
поле бесконечно длинного соленоида
(рис.
21.7.1). Замкнутый
контур выберем в виде прямоугольника
1-2-3-4, сторона 1-2 которого находится
внутри соленоида и параллельна его оси.
Тогда интеграл по контуру можно
представить как сумму четырех интегралов:
.
Экспериментальное изучение магнитного поля соленоида показывает, что внутри соленоида поле является однородным, вне – неоднородным и очень слабым, причем, чем соленоид длиннее, тем меньше магнитная индукция вне его. Поэтому
приближенно
можно считать, что поле бесконечно
длинного соленоида сосредоточено
целиком внутри него, то есть
.
Кроме того, на участках 2-3 и 4-1 контур
перпендикулярен линиям индукции
,
поэтому
и
.
Следовательно,
,
где
длина
выбранного участка контура.
С другой стороне стороны, по теореме о циркуляции
,
где
число
витков с током, охватываемых контуром.
Таким образом, индукция магнитного поля
внутри бесконечно длинного соленоида
равна:
.
(21.7.1)
Обозначим
количество
витков на единицу длины. Тогда
.
Соответственно, напряженность магнитного поля внутри соленоида
.
(21.7.2)
Р
ассмотрим
магнитное поле, созданное тороидом
– кольцевой
катушкой, витки которой намотаны на
сердечник, имеющий форму тора (рис.
21.7.2). Линии магнитной индукции есть
окружности, центры которых расположены
на оси тороида. Выберем замкнутый контур
в виде окружности радиуса r,
центр которой совпадает с центром
тороида. В силу симметрии
всюду на этой окружности, поэтому
.
С другой стороны, по теореме о циркуляции
.
Следовательно,
и
.
(21.7.3)
Число
витков тороида
,
следовательно, индукция магнитного
поля внутри тороида равна
.
(21.7.4)
Если
тороид узкий
,
то
и .
Вне тороида поле равно нулю. Чтобы доказать это, надо выбрать замкнутый контур в виде окружности, центр которой совпадает с центром тороида, а радиус r больше внешнего радиуса тороида или меньше внутреннего. Тогда алгебраическая сумма токов, пронизывающих такой контур, будет равна нулю.
П
ример
21.7.1. Определить
напряженность магнитного поля на оси
тороида без сердечника, по обмотке
которого, содержащей
200
витков, течет ток силой
.
Внешний диаметр тороида
,
внутренний -
.
Р Дано: , , , . Ешение:
Н
апряженность
магнитного поля на оси тороида без
сердечника равна
.
Радиус средней линии тороида
,
поэтому
.
О
твет:
.
21.8. Поток вектора магнитной индукции. Теорема Гаусса для магнитного поля
В главе 15.5 показано, что поток вектора индукции (электрического смещения) электростатического поля
.
Аналогично
может быть введен поток магнитной
индукции через замкнутую поверхность:
,
где
проекция вектора
на направление нормали
к площадке
,
угол между векторами
и
.
Знак
магнитного потока зависит от
,
то есть от выбора положительного
направления нормали
.
По теореме Гаусса этот поток должен быть равен сумме магнитных зарядов, заключенных внутри замкнутой поверхности S и численно равен числу силовых линий, пересекающих поверхность (рис. 21.8.1). Но магнитных зарядов в природе не существует, а силовые линии магнитного поля всегда замкнуты (количество линий, входящих в поверхность и выходящих из нее одинаково). Следовательно, поток вектора магнитной индукции через произвольную замкнутую поверхность равен нулю:
.
(21.8.1)
Эта формулировка отражает суть теоремы Гаусса для магнитного поля.
Рассчитаем
поток вектора магнитной индукции через
соленоид. Магнитная индукция однородного
поля внутри воздушного соленоида, равна
.
Маг-
нитный
поток сквозь один виток соленоида
площадью S
равен
,
а полный магнитный поток, сцепленный
со всеми витками соленоида, называемый
потокосцеплением,
равен
.
(21.8.1)
Единица
магнитного потока в СИ – Вебер
.
Пример 21.8.1. В
магнитном поле с индукцией
расположен стержень длиной
,
который вращается
перпендикулярно к направлению линий
магнитной индукции. Ось вращения проходит
через один из концов стержня. Определить
поток магнитной индукции сквозь
поверхность, которую описывает стержень
при каждом обороте.