2.5.2. Различие целей исследования в чистой и прикладной математиках.

Цель, направленность исследований в теоретической и прикладной математиках существенно отличны. В чистой математике основное внимание обращается на математический аппарат, максимальное обобщение условий задачи без относительно к физическому смыслу. Постановка задачи может быть изменена, чтобы получить строгое дедуктивное решение. Часто обращается внимание на изучение второстепенных деталей при потере связи с исходной задачей. Метод решения оказывается более привлекательным, чем сама исходная задача.

В прикладной математике главное получить решение поставленной задачи. Решение должно быть по возможности проще. Ответ с требуемой точностью должен быть получен к определённому времени и экономными средствами. В этом красота прикладных исследований. При решении сложной задачи предпочтение отдаётся ни поиску элегантного решения, а в первую очередь формулировке задачи, облегчающей решение. Эйнштейн по этому поводу сказал: "Я твёрдо придерживаюсь рецепта гениального теоретика Л.Больцмана - оставить изящество портным и сапожникам".

Стремление к "простому" решению поставленной задачи связано с характерными для прикладных исследований методологическими подходами. К ним следует отнести повторное обращение к модели, иерархию моделей, спор моделей и др. После проведения на модели очередной серии расчётов может оказаться, что, вследствие не обоснованных допущений, игнорирования существенных факторов, влияющих на конечный результат, неудачной структуры разработанной модели, недостаточного объема вычислений и пр., полученные результаты не удовлетворительны. Выявленные недостатки устраняются при повторном обращении к модели.

В ходе обсуждения результатов экспериментов можно придти к выводу, что существующая модель не обеспечивает решения поставленной задачи, что необходимо перейти к другой модели, в том числе возможно построенной на других принципах. Создаются цепочки последовательно усложняемых моделей - иерархия моделей. Последней моделью в этой цепочке является та, которая обеспечит решение задачи с требуемой точностью.

Зачастую весьма плодотворным оказывается "спор моделей", когда для решения задачи создаются разные типы моделей. Совпадение результатов, полученных на различных моделях, является хорошим подтверждением правильности решения. В противном случае необходимо выяснить причины расхождения. Подобный подход улучшает понимание сути исследуемой системы. "Тезис "в споре рождается истина", ранее совершенно чуждый математике, вступает в свои права в её прикладной ветви." / /

2.5.3. Проблемы адекватности и равнопрочность этапов исследования.

Решение задач с использованием простейшей модели связано с понятием адекватности модели исследуемой системе и равнопрочности этапов исследования.

Поскольку модель ориентирована на решение конкретной задачи, в ней должны быть учтены все те свойства, которые безусловно влияют на результаты решения этой задачи. Излишние подробности, не влияющие или слабо влияющие на результаты, должны быть исключены. Подобные подробности могут заметно усложнить эксперимент и ухудшить точность решения. В то же время, не должны быть искажены отношения между элементами системы, т.е. модель должна всегда быть изоморфным образом некоторой фактор - действительности. Соответственно, справедливо следующее определение.

Адекватность - совпадение модели с объектом в той мере, в которой это достаточно для достижения цели.

Понятие адекватности анализируется далее в п. 4.2 в логико-алгебраических терминах, там же дано определение фактор-действительности.

При построении модели, адекватной решаемой задаче, возникает проблема равнопрочности этапов исследования. Причём существует равнопрочность различного "уровня".

Обратимся к рис. 1. Выделяемая из реального мира фактор-действительность должна быть, как отмечалось выше, адекватна задаче исследования. При этом при моделировании различают внешнее и внутреннее правдоподобие.

Внешнее правдоподобие связано с понятием адекватности. При внешнем правдоподобии математическая модель полностью изоморфна выделенной фактор - действительности, т.е. есть уверенность, что математическая модель обеспечит результат, который мог бы быть получен при экспериментировании на реальном объекте при отбрасывании деталей, не влияющих на решение поставленной задачи.

Внутреннее правдоподобие - это соответствие реакции математической модели на внешнее возмущение и реакции на это же возмущение реализации математической модели. При реализации модели заманчиво сохранить физическое соответствие модели объекту, но физическая наглядность и вычислительная эффективность зачастую не совпадают. Например, метод Рунге-Кута не отражает физику процесса интегрирования, но вычислительно эффективен.

Определяют также адекватность качественную - адекватность функционального описания и количественную - совпадение исходов модели и объекта при одинаковых входах.

Внутреннее правдоподобие зависит от принятых вычислительных методов и техники, используемой при реализации модели. Физическое соответствие модели объекту заманчиво, но физическая наглядность и вычислительная эффективность зачастую не совпадают. Метод Рунге-Кута не отражает физику процесса интегрирования, но вычислительно эффективен.

Трудности возникают как при выделении фактор -действительности и формализации задачи, так и при реализации модели. Известны две крайние точки зрения. Первая - это стремление во всех случаях обеспечить максимальное внешнее правдоподобие. После чего не исключено, что для реализации модели потребуется вводить существенные упрощения. Другая крайность - при формализации модель упрощается так, что можно было бы, используя известные вычислительные методы, сохранить внутреннее правдоподобие близким к единице. Модели, в которых при небольшом внешнем правдоподобии используются весьма точные математические методы, весьма распространены.

Может оказаться оправданным стремление к некоторому компромиссу между внешним и внутренним правдоподобием - к "равнопрочности" этих двух этапов создания модели. Разумная степень их равнопрочности должна быть выбрана в каждом конкретном случае. Иногда возникают и чисто модельные трудности в реализации модели, являющейся следствием не сложности системы, а неудачно выбранной структуры математической модели.

Своеобразный уровень равнопрочности должен быть также установлен между качеством входной информации и внутренним правдоподобием. Нет смысла применять сложные вычислительные методы, если необходимые для расчета исходные данные отсутствуют, или они известны с большими погрешностями. Если для расчетов на разработанной модели необходимо знание параметров и переменных, которые в ближайшем будущем не будут получены, надо отказаться от этой модели и заменить её другой, пусть менее точной, но опирающейся на доступную информацию. Пренебрежение к источникам информации- ошибка типичная. В связи с этим полезно помнить фразу, принадлежащую известному естествоиспытателю Гексли: "Математика подобна мясорубке, она может переработать любое мясо, но для того, чтобы получить хорошие котлеты, нужно хорошее мясо".

Во многих исследованиях, претендующих на роль прикладных, исследование начинается с перечисления параметров, которые полагаются известными. Как, с какой точностью они будут получены - такой вопрос даже не ставится. Модели, созданные без учета имеющейся информации, следует называть "информационно-уродливыми", а соответствующие "прикладные исследования" - бессмысленными абстрактными упражнениями./ /.