Задание

1. На основании приведенных математических соотношений разработать постановку задачи моделирования и математическую модель в соответствии с основными этапами моделирования (конспект лекций «Раздел 4 Этапы построения моделей» без подэтапов «Проверка и корректировка модели» и «Реализация модели в виде программ на ЭВМ»).

2.Построить траекторию движения судна.

Оформить задание в виде презентации.

Задание 2

Определение параметров движение тела (подводной лодки) под водой.

Разработана математическая модель, исследование которой позволит определить параметры движения подводной лодки под водой при всплытии.

Объектом моделирования является тело, движущееся под водой.

Наполнение лодки воздухом в момент начала всплытия происходит мгновенно, масса лодки не изменяется. Сопротивлением воды пренебрегаем.

Лодку можно считать материальной точкой массой m, положение которой совпадает с центром масс лодки.

Движение лодки может быть описано в соответствии с законами механики Ньютона, на лодку действует выталкивающая сила воды в соответствии с законом Архимеда.

Движение лодки происходит в одной плоскости, перпендикулярной поверхности Земли.

Ускорение свободного падения тела и средняя плотность воды с глубиной погружения лодки не изменяются.

Исходные данные: объем лодки, начальная глубина, скорость движения (постоянная горизонтальная), средняя плотность воды, средняя плотность наполненной воздухом лодки при всплытии.

V - объем лодки [м³];

H - начальная глубина [м];

v - скорость движения (постоянная горизонтальная) [м/с];

ρ₁ - средняя плотность наполненной воздухом лодки при всплытии [кг/м³];

∆ L – точность определения дальности всплытия [м].

Принятые физические параметры:

g₀ - ускорение свободного падения [м/сек²];

ρ₀ - средняя плотность воды [кг/м³].

В качестве параметров движения лодки примем: координаты (х и у) и скорость (ее проекции v_x и v_y) центра масс лодки.

Тогда для определения положения лодки в любой момент времени достаточно найти закон движения ее центра масс, т.е. зависимость координат х, у и проекций вектора скорости v_x и v_y центра лодки от времени.

При всплытии на лодку начинает действовать выталкивающая сила, большая, чем вес лодки.

П о закону Архимеда выталкивающая сила равна

F = gVρ₀.

Суммарная сила, действующая на лодку в вертикальном направлении, - разность между F и весом тела P = gV ρ₁.

Сообщаемое лодкой ускорение по второму закону Ньютона равно

ρ₁ V d²h/dt² = F – Р = gV (ρ₀ - ρ₁).

Координата l, характеризующая горизонтальное положение лодки, изменяется по закону движения тела с постоянной скоростью (вертикальная скорость лодки, а также величины l и h в момент t = 0 равны нулю): dl/dt = v.

Решая эти уравнения, находим, что

(1)

и что лодка всплывет на поверхность в момент t = t_k , когда

При этом в горизонтальном направлении лодка пройдет расстояние L = vt_k.

Исключая из (1) время, найдем траекторию движения лодки в координатах (l,h)

.

Траектория оказывается параболой с вершиной в точке l = 0, h = 0 (уравнение (1) фактически дает параметрическую запись параболы).

При движении тела в жидкости (или газе), тело увлекает за собой некоторую массу жидкости – присоединенную массу. Это обусловлено силами взаимодействия частиц - поверхностными силами – силами, приложимыми к элементу жидкости со стороны прилегающих к нему частиц остальной части жидкости. В первом приближении, для исследования степени учета ее влияния на результат, присоединенная масса может быть определена по формуле: m = 0,5 Vρ₀.