Глава 4. Теория вероятностей

4.1 Основные понятия теории вероятностей

Теория вероятностей – раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений, наблюдаемых при многократном повторении опыта. Под опытом понимается воспроизведение какого-либо совокупности условий для наблюдения исследуемого явления (события).

Наблюдаемые события (явления) можно подразделить на три вида: достоверные, невозможные и случайные.

Определение 1. Достоверным называется событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий S. Обозначается

Определение 2. Невозможным называется событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий S. Обозначается

Определение 3. Случайным называется событие, которое при осуществлении совокупности условий S может произойти или не произойти.

Пример 1: Подбрасывание игральной кости: невозможное событие – выпадение 7 очков, достоверное – выпадение целого числа очков, случайное событие  выпадение четного числа очков.

Событие обозначается, как правило, заглавными буквами латинского алфавита:

В дальнейшем вместо фразы «совокупность условий осуществлена» будем говорить «произведено испытание»

Виды случайных событий:

1) События называются несовместными, если появление одного события исключает появление другого в одном и том же испытании. В противном случае события называются совместными.

События называются попарно несовместными, если любые два из них несовместны.

2) События называются равновозможными, если есть основание считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.

3) Несколько событий образуют полную группу событий, если в результате испытания появится хотя бы одно из них. В частности, если события, образующие полную группу событий, попарно несовместны, то в результате испытаний появится только одно из этих событий.

Определение 4. Противоположными событиями называются два несовместных события, образующих полную группу событий. Событие, противоположное событию , принято обозначать .

Пример 2: Выпадение 5 очков и выпадение четного числа очков – несовместные события. Выпадение 5 очков и выпадение не менее 3-ех очков – совместные.

Определение 5. Элементарным исходом (элементарным событием) называется каждый из возможных результатов испытания.

Элементарные исходы обозначим через , , … Множество всех элементарных исходов будем обозначать через  пространство событий. Все возможные элементарные исходы испытания несовместны и образуют полную группу событий.

Пример 3: Опыт - подбрасывание игральной кости и наблюдении числа выпавших очков. Рассмотрим пространство элементарных исходов . Случайное событие А – выпадение четного числа, т.е. . Элементарные исходы соответствуют числу выпавших очков

Пример 4: Спортсмен стреляет по мишени. Результаты могут отличаться друг от друга, несмотря на постоянство условий стрельбы. Случайное событие – попадание. Противоположной событие  промах.