- •1)Дать определение линейной зависимости векторов
- •2)Дать определение линейно независимой системы векторов
- •3)Дать определения базиса линейного пространства
- •9)Дать определение евклидова пространства
- •18) Сформулировать свойство инвариантности характеристического уравнения линейного оператора
- •29)Сформулировтаь теорему о существовании для самосопряженного оператора ортонормированного базиса,в котором его матрица имеет простой вид
- •30)Сформулировать теорему о собственных векторах самосопряженного оператора,соответствующих различным собственным значениям
- •31)Описать алгоритм приведения матрицы самосопряженного оператора к диагональному виду
- •32)Сформулировать утверждение о матрице перехода от одного ортонормированного базиса к другому
- •33)Дать определение ортогональной матрицы
- •34)Сформулировать свойства ортогональной матрицы
29)Сформулировтаь теорему о существовании для самосопряженного оператора ортонормированного базиса,в котором его матрица имеет простой вид
Для любого самосопряженного оператора A существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов оператора A. Матрица A линейного оператора A в этом базисе имеет диагональный вид, на диагонали расположены собственные значения оператора A, повторяющиеся столько раз, какова их кратность.
30)Сформулировать теорему о собственных векторах самосопряженного оператора,соответствующих различным собственным значениям
Собственные векторы самосопряженного оператора, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.
31)Описать алгоритм приведения матрицы самосопряженного оператора к диагональному виду
Теорема. Матрица самосопряженного оператора в собственном базисе имеет диагональную форму. Ясно, что для того чтобы привести матрицу самосопряженного оператор к диагональному виду нужно найти собственные значения оператора и диагональную матрицу, на диагонали которой расположены собственные значения матрицы. Если нужно записать выражение для приведения матрицы к этой диагональной форме, то нужно еще найти собственные векторы матрицы, записать матрицу C перехода к собственному базису (матрицу, столбцами которой являются координаты собственных векторов оператора), найти обратную к ней матрицу С-1 и тогда — равенство, связывающее диагональну форму матрицы оператора в собственном базисе с матрицей A оператора в заданном базисе.
записываем матрицу оператора в исходном базисе;
записываем характеристическое уравнение и вычисляем его корни;
находим собственный базис оператора (если он существует);
записываем матрицу , столбцами которой являются координаты собственных векторов (векторов собственного базиса);
по формуле находим диагональную форму матриц оператора — матрицу оператора в собственном базисе.
32)Сформулировать утверждение о матрице перехода от одного ортонормированного базиса к другому
Матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису — ортогональная.
Матрицей перехода от базиса к базису называется матрица , столбец которой есть столбец координат вектора в базисе . Если – произвольный вектор из , и – столбцы его координат в базисах и соответственно, то имеет место равенство (формула преобразования координат при преобразовании базиса).
33)Дать определение ортогональной матрицы
Квадратную матрицу называют ортогональной, если она удовлетворяет условию , где – единичная матрица.
34)Сформулировать свойства ортогональной матрицы
1. Определитель ортогональной матрицы может иметь одно из двух возможных значений:
2. Матрица, обратная к ортогональной матрице , совпадает с ее транспонированной матрицей, т.е. .
3. Произведение ортогональной матрицы на транспонированную к ней равно единичной матрице, т.е. .
4. Матрица, транспонированная к ортогональной матрице, тоже является ортогональной.
5. Произведение двух ортогональных матриц и одного порядка является ортогональной матрицей.
6. Матрица, обратная к ортогональной матрице, тоже является ортогональной.
— ортогональная.
Матрицей перехода от базиса к базису называется матрица , столбец которой есть столбец координат вектора в базисе . Если – произвольный вектор из , и – столбцы его координат в базисах и соответственно, то имеет место равенство (формула преобразования координат при преобразовании базиса).