1)Дать определение линейной зависимости векторов

Систему векторов х₁,х₂,..х_k в линейном пространстве L называют линейно зависимой, если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору.

2)Дать определение линейно независимой системы векторов

Система векторов линейно независима, если линейная комбинация векторов равна нулевому вектору, только если она тривиальна.

3)Дать определения базиса линейного пространства

Базис линейного пространства – упорядоченная система векторов, для которой выполняется 2 условия : а) Эта система векторов линейно-независима; б) Каждый вектор в линейном пространстве может быть представлен в виде линейной комбинации векторов этой системы.

4)ДАТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТРИЦЫ ПЕРЕХОДА ОТ ОДНОГО БАЗИСА К ДРУГОМУ Матрица перехода от одного базиса к другому – i-й столбец матрицы перехода есть столбец координат i-го вектора нового базиса в старом. Поэтому говорят, что матрица перехода состоит из координат векторов нового базиса в старом, записанных по столбцам.

5)ДАТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ РАЗМЕРНОСТИ ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА

Размерность линейного пространства - максимальное кол-во линейно независимых векторов в данном линейном пространстве.

6)ЗАПИСАТЬ ФОРМУЛУ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ ВЕКТОРА ПРИ ПЕРЕХОДЕОТ ОДНОГО БАЗИСА ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА К ДРУГОМУ

Пусть в n-мерном линейном пространстве L заданы два базиса: старый b = (b₁, b₂, . . . , b_n) и новый c = (c₁, c₂, . . . , c_n). Любой вектор можно разложить по базису b. В частности, каждый вектор из базиса c может быть представлен в виде линейной комбинации векторов базиса b: c_i = α_1ib₁ + . . . + α_nib_n, i=

7) ДАТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОДПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА

Подмножество Н линейного пространства L называют линейным подпространством, если выполнены следующие 2 условия:

1.сумма любых двух векторов из Н принадлежит Н: х,у Н

2. произведение любого вектора из Н на любое действительное число снова принадлежит Н: .

8)ДАТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ ОБОЛОЧКИ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ

Линейная оболочка подмножества линейного пространства — пересечение всех подпространств , содержащих .

Линейная оболочка является подпространством .

Линейная оболочка также называется подпространством, порожденным . Говорят также, что линейная оболочка натянута на множество .

Линейная оболочка состоит из всевозможных линейных комбинаций различных конечных подсистем элементов из . В частности, если — конечное множество, то состоит из всех линейных комбинаций элементов.

9)Дать определение евклидова пространства

Линейное пространство ɛ называют евклидовым пространством, если в этом пространстве задано скалярное умножение, т.е. закон или правило согласно которому каждой паре векторов х,у ɛ поставлено в соответствие действительно число (х,у), называемое скалярным произведением. При этом выполняются след. Аксиомы скалярного умножения:

1.(х,у)=(у,х)

2.(x+y,z)=(x,z)+(y,z)

3.( λx,y)= λ (x,y), λ R

4.(x,x)≥0, причем (х,х)=0, только когда х=0.

10) НЕРАВЕНСТВО КОШИ-БУНЯКОВСКОГО

Пусть дано линейное пространство L со скалярным произведением . Пусть — норма, порождённая скалярным произведением, то есть ≡ , xL, тогда для x, y L имеем | |= , причем равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы x и y пропорциональны (коллинеарны).

11)ДАТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОЙ ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА

Два вектора в евклидовом пространстве называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

12) СФОРМУЛИРОВАТЬ ТЕОРЕМУ О СВЯЗИ ЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ И ОРТОГОНАЛЬНОСТИ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ

Любая ортогональная система ненулевых векторов линейно независима.

13)ДАТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ МАТРИЦЫ Характеристическое уравнение матрицы — алгебраическое уравнение вида Корни этого уравнения λ_1,λ₂, λ₃ называются характеристическими числами матрицы; они всегда вещественны, если исходная матрица была симметрической.