§2.2 Правила знаков

В геометрической оптике устанавливаются определенные правила обозначения отрезков и углов, чтобы формулы были пригодны для всех случаев построения и расположения элементов. Все величины относящиеся к пространству предметов обозначаются без индексов или с индексами расположенными внизу, а величины относящиеся к пространству изображений со штрихами вверху.

Отрезки отсчитываемые вдоль оптической оси считаются положительными если их направление совпадает с направлением распространения света, и отрицательными если наоборот. За положительное направление принимают направление света слева направо

Отрезки SS’ и радиусы кривизны отсчитываются от вершины поверхности О. S-отрицательный. S’-положительный.

Расстояния измеряемые вдоль лучей составляющие с оптической осью определенные углы отсчитываются от точки пересечения лучей с преломляющей или отражающей поверхности. (n-отриц. N’-положит.)

Если отрезки перпендикулярные оптической оси направлены вверх от нее, то они положительны.

Правила для углов:

1. Угол луча с осью считается положительным если луч пересекая ось идет сверху вниз, и наоборот.

2. Углы между лучом и нормалью к поверхности в точках падения лучей считаются положительными, если данная нормаль будет повернута по ходу часовой стрелки чтобы совпасть с направлением луча.

3. Линейным увеличением называется отношение размера изображения к размеру предмета. Линейное изображение называется положительным когда предмет и изображение имеют одинаковые знаки.

§2.3 Сферические и плоские преломляющие и отражающие поверхности

Узкий световой конус световых лучей с осью нормальной к сферической поверхности называется параксиальным. Непараксиальные пучки не дают стигматических изображений и после преломления перестают быть гомоцентрическими.

Область бесконечно малого пространства вблизи оптической оси внутри которой углы лучей с оптической осью и с нормалями к поверхностям настолько малы что величины синусов и тангенсов этих углов можно заменить самими углами, называется параксиальной областью.

Рассмотрим преломление лучей на сферической поверхности LA-падающий, AL’- преломленный луч, по теореме о синусах можно записать:

. (2.1)

Углы и β смежные, тогда

; . (2.2)

Из тригонометрии известно: , отсюда

. (2.3)

Аналогично из треугольника L'AO можно получить:

. (2.4)

Тогда перемножив левые и правые части уравнений 2.3 и 2.4 получим: c учетом закона Снеллиуса

. (2.5)

Для параксиальных лучей:

AL SL = - , (2.6)

AL’ SL’ = ; SO = R. (2.7)

Тогда

, . (2.8)

Подставим 2.6, 2.7, 2.8 в 2.5:

. (2.9)

или

. (2.10)

. (2.11)

Формула 2.10 показывает, что произведение при преломлении сохраняет свою величину , называемую нулевым инвариантом Аббе. Соотношение 2.10 обычно записывают в виде:

. (2.12)

Формула 2.12 позволяет отыскать положение точки если известно положение точки и .

Формулу 2.12 можно применить и к сферическому зеркалу, т.е. к случаю отражения, если положить . Тогда имеем:

. (2.13)