1. Метод простой итерации

Пусть задана СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей А

Ах=В

Приведем систему к следующему виду:

x₁=b₁₂*x₂+b₁₃*x₃+…+b_1n*x_n+c₁

x₂=b₂₁*x₁+b₂₃*x₃+…+b_2n*x_n+c₂ (8)

……………………………………………………..

x_n=b_n1*x₁+b_n2*x₂+…+b_nn*x_n+c_{n ,}

где b_ij=-a_ij/a_ii, c_i=b_i/a_ii (i,j=1,2,…n, j/=i) (9)

b_ij=0 при i=j

Выберем начальное приближение х⁽⁰⁾=(x₁⁽⁰⁾, x₂⁽⁰⁾, … , x_n⁽⁰⁾)

Подставляя его в правую часть приведенной выше системы, получим

х⁽¹⁾=B x⁽⁰⁾+c .

Продолжая этот процесс далее, получим последовательность

x⁽⁰⁾, x⁽¹⁾, … , x⁽ⁿ⁾ приближений, вычисляемых по формуле

x^(k+1)=Bx^(k)+c, k=0,1,2,… .

В случае, когда для итераций используется система (8) с коэффициентами, вычисляемыми по формулам (9), метод простой итерации называют методом Якоби.

Оценим сходимость метода итераций. Пусть норма матрицы ||B||<1, тогда существует единственное решение СЛАУ и справедлива следующая оценка погрешности: _ || x⁽ⁿ⁾ –X|| <=||B||^{n *}|| x⁽⁰⁾ – X|| , где Х- точное решение системы.

Cуществует достаточно грубое условие сходимости метода итераций как условие достаточной малости элементов b_ij или другое условие диагонального преобладания

∑ |a_ij| < |a_jj | , j=1, 2, … , n; i /=j

В качестве критерия окончания итерационного процесса можно использовать неравенство || x⁽ⁿ⁾-x^(n-1)|| < ε1, где 1=(1-||B||)/||B||*

Метод Зейделя

Метод Зейделя можно рассматривать как модификацию метода Якоби. Основная идея метода состоит в том, что при вычислении очередного (к+1) –го приближения к неизвестному x_i при i >1 используют уже найденные к+1 приближения к неизвестным x_{1 ,} …x_{i-1 ,} а не к-е приближение, как в методе Якоби.

Помимо перечисленных существует целый ряд других итерационных методов, а именно, метод релаксаций, метод наискорейшего спуска и т.д.

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

1. Решить систему линейных уравнений (10) методом простой итерации, подставив вместо буквы С номер последней цифры зачетной книжки.

20.C*x₁+ 1.2*x₂+ 2.1*x₃+ 0.9*x₄ =21.7

1.2*x₁+21.C*x₂+ 1.5*x₃+ 2.5*x₄ =27.46

2.1*x₁+ 1.5*x₂+19.C*x₃+ 1.3*x₄ =28.76

0.9*x₁+ 2.5*x₂+ 1.3*x₃+32.C*x₄ =49.72

2. Решить рассмотренную выше систему уравнений методом Зейделя.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3

ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ

Цель работы: изучить методы приближенных вычислений интегралов, на основе составленной программы решить один из вариантов задания

ПРОГРАММА РАБОТЫ

1. Используя алгоритм вычисления интегралов по одной из приведенных формул, составить и отладить на ЭВМ программу.

2. С помощью разработанной программы вычислить интеграл для одного из вариантов заданий.

3. Сравнить полученные на ЭВМ результаты с контрольными, полученными “вручную”.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАБОТЕ

Квадратурные формулы имеют вид

, (11)

где — выбранные узлы интерполяции, — коэффициенты, зависящие только от выбора узлов, но не от вида функции (k=0,1,...,n), R — остаточный член или погрешность квадратурной формулы.

Разобьём отрезок интегрирования [a,b] на n равных частей системой точек

и вычислим подынтегральную функцию в полученных узлах

1. Формула трапеций

, (12)

где (i=0,1,...,n).

Остаточный член имеет вид

Формула трапеций даёт точное значение интеграла, когда подынтегральная функция f(x) линейна, ибо тогда f"(x)=0

2. Формула Симпсона (формула парабол)

(13)

где , остаточный член имеет вид

.

Формула Симпсона является точной для многочленов до третьей степени включительно, так как в этом случае .

Заметим, что в формуле Симпсона число узлов обязательно нечетное, т. е. n четное, n=2m.

3. Формула Ньютона (правило трех восьмых)

], (14)

где .

Остаточный член имеет вид

.

В формуле (14) n=3m.

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

Вычислить приведенные ниже интегралы на основе квадратурных формул.