Производственная функция кобба-дугласа

В экономико-математических исследованиях широко используется аппарат производственных функций.

Производственной функцией (ПФ) называется зависимость между объемами затрачиваемых в производстве ресурсов (независимые переменные , число которых равно числу ресурсов) и объемом выпускаемой продукции .

Основными производственными ресурсами являются труд и капитал . Способы производства (производственные технологии) определяют, какой объем продукции выпускается при заданном количестве труда и капитала. Математически существующие технологии выражаются через производственную функцию.

Производственная функция описывает множество существующих в данный момент технологий. Изменения в технологии изменяют и производственную функцию.

Производственные функции позволяют:

• проводить разнообразные аналитические расчеты;

• определять эффективность использования ресурсов и целесообразность их дополнительного вовлечения в сферу производства;

• прогнозировать выпуск товаров, продукции при тех или иных вариантах развития объекта.

Особенностями оценки параметров производственных функций является то, что

большинство производственных функций не являются линейными относительно параметров и не сводятся к линейным путём аналитических преобразований;

в качестве критерия оценки параметров используются функции достаточно сложного вида;

как производственные функции, так и критерии оценки параметров могут быть не дифференцируемыми.

Поэтому в общем случае задача оценки параметров производственных функций не сводится ни к решению нормальных уравнений, ни к задаче линейного программирования.

С другой стороны, ряд особенностей задачи оценивания параметров производственных функций облегчает вычислительные сложности:

число параметров обычно не превосходит 10;

количество наблюдаемых данных обычно не превосходит 50;

для большинства параметров можно указать априорные границы допустимых оценок;

достаточна относительно грубая оценка параметров, минимизирующих критерий, в частности, не обязательно достижение глобального минимума;

не всегда обязательно определять доверительные интервалы оценок параметров.

В силу этих особенностей для оценки параметров различных производственных функций наибольшее распространение получили итерационные методы.

Однако приведем пример применения эконометрического подхода для построения производственной функции Кобба–Дугласа, которая является наиболее используемой при проведении экономического анализа.

Понятие «производственная функция» введено американскими учеными Коббом и Дугласом в 1928 году. Функция Кобба–Дугласа принадлежит к классическому примеру эконометрического моделирования и широко используется в экономических исследованиях, особенно на макроуровне.

Аналитически функция Кобба–Дугласа записывается как , где – объем выпускаемой продукции; – труд в обобщенном (неявном) виде; – капитал (основные фонды) в обобщенном виде.

Функция Кобба–Дугласа является степенной функцией. В классическом виде она записывается как

, (1)

где – объем выпускаемой продукции;

– затраты труда;

– основной капитал, производственные фонды;

– коэффициент пропорциональности;

– параметры, которые характеризуют степень однородности производственных функций.

Параметры модели изменяются в пределах

; .

При темп роста объема выпускаемой продукции выше темпа роста объема обоих производственных ресурсов; при – наоборот, темп роста объема продукции ниже темпа роста ресурсов.

Рассмотрим на конкретном примере методику нахождения производственной функции и анализ с ее помощью некоторых экономических показателей.

Пример 1. В таблице 1 приведены данные фирмы о выпуске продукции , затратах производственных фондов и затратах труда за десять лет.

Таблица 1

Годы	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Выпуск продукции –	4,3	5,2	6,1	6,9	8,3	9,1	10,8	11,2	12,1	13,1
Затраты труда –	1,8	1,9	2,3	2,5	2,8	3,3	3,6	3,7	4,1	5,1
Затраты фондов –	4,8	5,7	6,6	7,9	8,2	9,6	10,9	11,8	13,1	16,2

Используя эти данные, требуется построить производственную функцию Кобба–Дугласа в виде (1) и с ее помощью проанализировать некоторые экономические показатели фирмы.

Решение: Отметим, что в этой модели число наблюдений , а количество факторов .

Функция Кобба–Дугласа является степенной. Чтобы использовать метод наименьших квадратов, предназначенный для линейных зависимостей, прологарифмируем ее и перейдем к линейной функции

. (2)

Введем обозначения:

, , ,

, , .

В новых обозначениях соотношение (2) запишется в виде

. (3)

Исходные данные тоже подлежат логарифмированию. Результаты логарифмирования представлены в таблице 2.

Таблица 2

	1,459	1,649	1,808	1,932	2,116	2,208	2,380	2,416	2,493	2,573
	0,588	0,642	0,833	0,916	1,030	1,194	1,281	1,308	1,411	1,629
	1,569	1,740	1,887	2,067	2,104	2,262	2,389	2,468	2,573	2,785

Методом наименьших квадратов находим параметры функции (3):

.

Тогда . С учетом введенных обозначений получим следующую модель

.

Потенцированием получаем функцию Кобба–Дугласа

.

Таким образом, функция Кобба-Дугласа будет иметь следующий вид

. (4)

Для проведения экономического анализа рассчитаем основные характеристики функции Кобба–Дугласа.