Практическая работа № 4. Расчёт средних степенных и структурных величин ряда распределения.

Цель работы – выполнить расчёты средних показателей совокупности, научиться графически определять средние значения.

Теоретические положения.

Средняя величина – обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень варьирующего количественного признака на единицу совокупности в определенных условиях места и времени.

В экономических исследованиях и плановых расчетах применяются две категории средних:

- степенные (арифметическая, гармоническая, геометрическая, квадратическая, кубическая);

- структурные (мода, медиана, квартиль, дециль, процентиль).

При расчёте средних величин, если ряд является сгруппированным, используются средние взвешенные, если несгруппированным - средние простые.

О бщая формула расчёта средних степенных простых:

(4.1)

Общая формула расчёта средних степенных взвешенных:

(4.2)

где х – значение варианты; f – значение частоты (частности); n – количество единиц совокупности; m – показатель степени.

Наиболее часто используемой для проведения экономических исследований является средняя арифметическая взвешенная, которая рассчитывается по формуле:

(4.3)

Дополнительным способом расчёта среднего показателя сгруппированной совокупности является метод моментов, который используется с целью упрощения расчетов и снижения порядков цифровых данных. Расчет осуществляется по формулам:

(4.4)

где А – значение варианты, соответствующее максимальной частоте;

h- величина интервала; m₁ – момент первого порядка.

Средние структурные используют для изучения внутреннего строения и структуры рядов распределения значений признака.

Мода это величина признака (варианта), которая чаще всего встречается в данной совокупности. В вариационном дискретном ряду модой выступает варианта, имеющая наибольшую частоту.

Определение моды интервального ряда начинается с нахождения модального интервала. Модальным интервалом считается интервал, в котором находится значение варианты, соответствующее максимальной частоте. После этого значение моды определяется по формуле:

(4.5)

где Х_mо- нижняя граница модального интервала; f_mо- частота модального интервала; f_mо-1- частота интервала, предшествующего модальному; f_mо+1- частота интервала, следующего за модальным.

Медианой называется варианта, которая находится в середине ранжированного вариационного ряда. Медиана делит пополам ряд, расположенный в порядке убывания или возрастания признака.

В ранжированных рядах несгруппированных данных медиана равна значению признака, расположенного строго в середине ряда. В случае четного объёма ряда медиана равна средней из двух значений признака, находящихся в середине ряда.

Определение медианы интервального ряда начинается с нахождения медианного интервала. Медианным называется интервал в котором кумулята впервые превышает полусумму частот. Далее значение медианы рассчитывается по формуле:

(4.5)

где Х _mе – нижняя граница медианного интервала; h _mе – величина медианного интервала; S _mе-1 – кумулята интервала, предшествующего медианному; f_mе – частота медианного интервала; -полусумма частот ряда.

Графически значение моды можно определить при построении гистограммы ряда распределения. Для этого прямыми соединяют верхние правые углы предшествующего модальному и модального прямоугольников, а также левые верхние углы модального и следующего за ним прямоугольников. Модальным значением будет являться проекция точки пересечения этих прямых на ось абсцисс. На рисунке 4.1 данное значение показывает, что наибольшая доля населения имеет доходы в размере 7423 рубля.

Рисунок 4.1 – Графическое изображение модального значения ряда распределения

Графически значение медианы определяется как значение оси абсцисс, соответствующее точке пересечения кумулятивной кривой ряда распределения и прямой, характеризующей середину ранжированного ряда параллельной оси абсцисс. На рисунке 4.2 медиана показывает, что половина работников предприятия имеют доход до 11455 рублей.

Рисунок 4.2 – Графическое изображение медианного значения ряда распределения

Порядок выполнения работы.

1. По исходным данным рассчитать средние значения исследуемых показателей.

2. Проверить правильность расчёта средней методом моментов.

3. Рассчитать значения моды и медианы по заданной совокупности.

4. По данным совокупности построить гистограмму, полигон и кумуляту, на которых необходимо графически отобразить моду, медиану и среднюю арифметическую.

5. Сформулировать выводы по проведенным расчётам.

6. Все расчёты осуществлять в виде таблицы 4.1.

Таблица 4.1 Пример оформления таблицы вспомогательных расчётов

№ п/п	Интервал (группировка ряда по исследуемому признаку)	Частоты (частости) f	Варианты х	х*f			Кумуляты S
	Итого		-		-		-

Таблица 4.2 Варианты заданий к практической работе № 4

№ вари анта	Показатель
	РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НАСЕЛЕНИЯ ПО ВОЗРАСТНЫМ ГРУППАМ в 2001 году, тыс. чел
	РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НАСЕЛЕНИЯ ПО ВОЗРАСТНЫМ ГРУППАМ в 2006 году, тыс. чел
	РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НАСЕЛЕНИЯ ПО ВОЗРАСТНЫМ ГРУППАМ в 2008 году, тыс. чел
	РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НАСЕЛЕНИЯ ПО ВОЗРАСТНЫМ ГРУППАМ в 2001 году, %
	РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НАСЕЛЕНИЯ ПО ВОЗРАСТНЫМ ГРУППАМ в 2006 году, %
	РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НАСЕЛЕНИЯ ПО ВОЗРАСТНЫМ ГРУППАМ в 2008 году, %
	РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛЕННОСТИ БЕЗРАБОТНЫХ ПО ВОЗРАСТНЫМ ГРУППАМ И УРОВНЮ ОБРАЗОВАНИЯ в 2008 г., всего (на конец ноября; в % к итогу)
	РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛЕННОСТИ БЕЗРАБОТНЫХ ПО ВОЗРАСТНЫМ ГРУППАМ И УРОВНЮ ОБРАЗОВАНИЯ в 2008 г., мужчины (на конец ноября; в % к итогу)
	РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛЕННОСТИ БЕЗРАБОТНЫХ ПО ВОЗРАСТНЫМ ГРУППАМ И УРОВНЮ ОБРАЗОВАНИЯ в 2008 г., женщины (на конец ноября; в % к итогу)
	РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛЕННОСТИ ЗАНЯТЫХ В ЭКОНОМИКЕ ПО ВОЗРАСТНЫМ ГРУППАМ в 2008 г., всего (на конец ноября; в % к итогу)
	РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛЕННОСТИ ЗАНЯТЫХ В ЭКОНОМИКЕ ПО ВОЗРАСТНЫМ ГРУППАМ в 2008 г., мужчины (на конец ноября; в % к итогу)
	РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛЕННОСТИ ЗАНЯТЫХ В ЭКОНОМИКЕ ПО ВОЗРАСТНЫМ ГРУППАМ в 2008 г., женщины (на конец ноября; в % к итогу)

Таблица 4.1 Исходные данные к практической работе № 4