68. Формула Тейлора для функции многих переменных
С остаточным членом в форме Лагранжа
Пусть
– целое число, функция
задана в некоторой окрестности точки
и
раз дифференцируема в указанной
окрестности. Тогда полное приращение
этой функции в точке
может быть представлено в следующей
форме:
,
При этом
-
некоторая точка указанной окрестности,
зависящая, вообще говоря, от
,
а дифференциалы
переменных
входящие в выражения
и
,
равны
.
С остаточным членом в форме Пеано
Пусть
- целое число, функция
задана и
раз дифференцируема в
-
окрестности точки
и
раз дифференцируема в самой точке
.
Тогда для любой точки из указанной окрестности справедлива следующая формула
В которой через
обозначено расстояние
,
а символ
обозначает бесконечно малую при
(или при
)
функцию более высокого порядка малости,
чем
.
69. Теорема о существовании и дифференцируемости неявно заданной функции многих переменных
Пусть функция
дифференцируема в некоторой окрестности
точки
пространства
, причем частная производная
непрерывна в точке
.
Тогда, если в точке
функция
обращается в нуль, а частная производная
не обращается в нуль, то для любого
достаточно малого положительного числа
найдется такая окрестность точки
пространства
,
что в пределах этой окрестности
существует единственная функция
,
которая удовлетворяет условию
и является решением уравнения
,
причем эта функция
непрерывна и дифференцируема в указанной
окрестности точки
.
72-73. Определение точки локального максимума (минимума) функции многих переменных
Функция имеет в точке локальный максимум (минимум), если
выполнено
.
74. Определение экстремума функции многих переменных
Функция имеет в точке локальный экстремум, если она имеет в этой точке либо локальный максимум, либо локальный минимум.
75. Необходимое условие экстремума функции многих переменных
Если функция
обладает в точке
частными производными первого порядка
по всем переменным
и имеет в точке локальный экстремум, то
.
76. Достаточное условие экстремума функции многих переменных
Пусть функция
один раз дифференцируема в некоторой
окрестности точки
и два раза дифференцируема в самой точке
.
Пусть точка
является стационарной точкой функции
,
т.е.
.
Тогда если второй дифференциал
,
где
представляет собой положительно
(отрицательно) определенную квадратичную
форму от переменных
,
т функция
имеет в точке
локальный минимум (максимум). Если же
второй дифференциал
представляет собой знакопеременную
квадратичную форму, то функция
не имеет локального экстремума в точке
/