- •Определения и формулировки теорем по математическому анализу.
- •2 Семестр.
- •7. Определение точки перегиба функции
- •8. Достаточное условие точки перегиба
- •9. Определение точки экстремума функции одной переменной
- •12. Необходимое условие экстремума функции одной переменной
- •13. Достаточное условие экстремума функции одной переменной
- •По Гейне
- •По Коши
- •По Коши
- •Первая теорема
- •Вторая теорема
- •68. Формула Тейлора для функции многих переменных
- •69. Теорема о существовании и дифференцируемости неявно заданной функции многих переменных
- •74. Определение экстремума функции многих переменных
- •75. Необходимое условие экстремума функции многих переменных
- •76. Достаточное условие экстремума функции многих переменных
Определения и формулировки теорем по математическому анализу.
2 Семестр.
За корректность приведенных ниже формулировок теорем и определений ответственности не несу
1-4. Определение возрастающей (убывающей) функции
возрастает (убывает) в точке , если существует и .
возрастает (убывает) на множестве , если для .
5-6. Определение выпуклой вверх (вниз) функции
выпукла вверх (вниз) на множестве , если график лежит не выше (не ниже) касательной в каждой точке .
7. Определение точки перегиба функции
Точка называется точкой перегиба, если при прохождении через меняется направление выпуклости графика.
8. Достаточное условие точки перегиба
Пусть имеет вторую производную в некоторой окрестности точки и . Тогда, если в указанной окрестности вторая производная имеет разные знаки слева и справа от , то график функции имеет перегиб в точке .
Если функция имеет в точке конечную третью производную и удовлетворяет в этой точке условию , , то график функции имеет перегиб в точке .
Пусть некоторое четное число и пусть имеет производную порядка в некоторой окрестности точки и производную порядка в самой точке . Тогда если
,
то график функции имеет перегиб в точке .
9. Определение точки экстремума функции одной переменной
- точка локального экстремума функции , если - точка локального максимума или минимума.
10-11. Определение точки локального минимума (максимума) функции одной переменной
имеет в точке локальный максимум (минимум), если .
12. Необходимое условие экстремума функции одной переменной
- дифференцируема в точке , - точка локального экстремума
13. Достаточное условие экстремума функции одной переменной
- дифференцируема, тогда - точка локального экстремума, если при прохождении через нее меняет знак.
- дважды дифференцируема, и в точке локальный минимум (максимум)
Пусть некоторое нечетное число и пусть имеет производную порядка в некоторой окрестности точки и производную порядка в самой точке . Тогда если
,
То в точке локальный максимум, если и минимум, если .
14. Определение интеграла Римана
Функция называется интегрируемой по Риману на , если для этой функции на указанном сегменте существует предел ее интегральных сумм при стремлении диаметра разбиений к нулю.
Число называют определенным интегралом Римана от в пределах от до и обозначают .
15. Определение верхней и нижней интегральных сумм
16. Верхний и нижний интегралы Дарбу
Верхним интегралом Дарбу от называют число , равное точной нижней грани множества верхних сумм для всевозможных разбиений сегмента .
Нижним интегралом Дарбу от называют число , равное точной верхней грани множества нижних сумм для всевозможных разбиений сегмента .
17. Необходимое и достаточное условие интегрируемости функций
Для того чтобы ограниченная на функция была интегрируема на этом сегменте необходимо и достаточно, чтобы .
Для того чтобы ограниченная на функция была интегрируема на этом сегменте необходимо и достаточно, чтобы сегмента , для которого .
18. Классы интегрируемых функций
Непрерывные на функции интегрируемы на этом сегменте по Риману.
Монотонные на интегрируемы на этом сегменте по Риману.
Пусть определена и ограничена на . Если конечное число интервалов покрывающих точки разрыва этой функции и имеющих общую сумму длин меньшую , то интегрируема по Риману на
19. Формула Ньютона-Лейбница.
Пусть непрерывна на
, - первообразная на .
20. Интегрирование по частям
Пусть и имеют непрерывные производные на , тогда
.
21. Интегрирование заменой переменного
Пусть имеет непрерывную производную на и , , причем . Тогда
( при условии, что непрерывна)
22. Определение среднего значения функции
называется средним значением функции на .
23. Теорема о среднем значении непрерывной функции
Если непрерывна на , то .
24. Первая теорема о среднем
- интегрируема
интегрируема
25. Вторая теорема о среднем
-интегрируемы
- монотонная
26. Определение несобственного интеграла первого рода.
Предел в случае, если он существует, называется несобственным интегралом первого рода от по полупрямой и обозначается символом , при этом говорят, что несобственный интеграл сходится и пишут .
27. Определение несобственного интеграла второго рода
Правый предел в случае, если он существует, называется несобственным интегралом второго рода от по и обозначается символом
При этом говорят, что интеграл сходится и пишут .
28. Критерий Коши сходимости интеграла первого рода
Для сходимости интеграла первого рода необходимо и достаточно, чтобы .
29. Критерий Коши рассходимости интеграла первого рода
Для рассходимости интеграла первого рода необходимо и достаточно, чтобы
.
30. Критерий Коши сходимости интеграла второго рода
Для сходимости интеграла второго рода необходимо и достаточно, чтобы
.
31. Критерий Коши рассходимости интеграла второго рода
Для рассходимости интеграла второго рода необходимо и достаточно, чтобы
.
32. Абсолютная и условная сходимость интеграла
при абсолютно сходится
при условно сходится.
33. Абсолютная и условная сходимость интеграла
при абсолютно сходится
при условно сходится.
34. Сходимость интеграла
сходится при .
35. Сходимость интеграла
сходится при .
36. Определение несобственного интеграла в смысле главного значения
Пусть определена на и интегрируема на каждом сегменте принадлежащем этой прямой. Будем говорить, что интегрируема по Коши, если существует предел
Называемый главным значением интеграла в смысле Коши.
37. Определение несобственного интеграла в смысле главного значения
Пусть определена на , быть может кроме точки , , и интегрируема на любом сегменте принадлежащем либо , либо . Будем говорить, что интегрируема по Коши, если существует предел
Называемый главным значением интеграла в смысле Коши.
38. Первый признак сравнения сходимости несобственного интеграл
определены на и , из сходимости сходимость .
Из расходимости расходимость .
39. Второй признак сходимости несобственного интеграла
знакоопределены и
и сходятся и расходятся одновременно.
40. Частный признак сравнения несобственного интеграла
Пусть на полупрямой функция удовлетворяющая соотношению , и постоянные, . Тогда сходится.
Если на справедливо соотношение , то интеграл расходится.
41. Признак Дирихле-Абеля сходимости несобственного интеграла
1. непрерывна на полупрямой и имеет на этой полупрямой ограниченную первообразную
2. - определена и монотонно не возрастает на полупрямой и имеет равный нулю предел при
3. существует и непрерывна в каждой точке полупрямой
Тогда интеграл сходится.
42. Определение абсолютной сходимости несобственного интеграла
Интеграл - сходится - абсолютно сходится.
43. Определения условной сходимости несобственного интеграла
Интеграл -расходится, - сходится условно сходится.
44. Вычисление площади ограниченной замкнутой кривой
Площадь плоской фигуры ограниченной двумя непрерывными кривыми ( и двумя прямыми ( )), равна
.
Если ( ) – параметрические уравнения кусочно гладкой простой замкнутой кривой , пробегаемой против хода часовой стрелки и ограничивающей слева от себя фигуру с площадью , то
.
45. Вычисление площади сектора, ограниченного кривой, в полярных координатах
Площадь сектора сектора ограниченной непрерывной кривой и двумя полупрямыми , равна
46. Вычисление длины дуги кривой в декартовой системе координат
Длина дуги отрезка гладкой (непрерывно дифференцируемой) кривой
равна
Если кривая задана уравнениями , где непрерывно дифференцируемы на , то длина дуги кривой равна
47. Вычисление длины дуги кривой в полярных системе координат
Если ( ) , где непрерывно дифференцируема на , то длина дуги соответствующего отрезка кривой равна
.
48. Вычисление площади поверхности вращения
Площадь поверхности, образованной вращением гладкой кривой вокруг оси , равна
,
где дифференциал дуги
1)
2)
3)
49. Вычисление объема тела вращения
Объем тела, образованного вращением вокруг оси криволинейной трапеции
,
где непрерывная функция, равен
.
50. Сходимость точек в n-мерном пространстве
Последовательность точек Евклидова пространства называется сходящейся, если существует точка пространства такая, что для выполняется неравенство . При этом точка называется предельной точкой последовательности .
51. Теорема Больцано-Вейерштрассе
Из любой ограниченной последовательности точек -мерного евклидова пространства можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
52. Определение предела функции многих переменных