§ 8.1. Экспериментальный и аналитический методы получения частотных характеристик.
Экспериментальный метод определения частотных характеристик заключается в подаче на вход звена гармонических сигналов различных частот с последующим сравнением их с получаемыми выходными сигналами.
Если на вход системы
подается синусоидальный сигнал вида:
с амплитудой
,
то на выходе в установившемся режиме
имеет место также синусоидальный сигнал
с той же частотой
,
но уже с другими амплитудой и фазой.
Амплитуда выхода
равна
,
а сигнал имеет сдвиг фазы
.
Одна точка АЧХ ( и ) определяется зависимостями:
- сдвиг фазы выходного сигнала по отношению к входу. Аналогично можно построить все точки АЧХ и ФЧХ (рисунок 8.3).
y0
1
x(t), y(t)
x0
T
tφ0
Ty
x(t)
y0=A(ω0)·x0
t
Рис.8.3 Экспериментальное определение частотных характеристик
Рассмотрим аналитический метод получения частотных характеристик на примере RC-цепи:
ДУ RC-цепи:
где
Получим ДУ:
Заменим
:
(КЧХ)
Умножим числитель и знаменатель на комплексно сопряжённое знаменателя:
Отсюда:
Способ по формуле Эйлера:
§8.2.Логарифмические частотные характеристики.
Для инженерных расчётов более удобны амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики, построенные в логарифмическом масштабе. Это удобство заключается в том, что логарифмические амплитудно-частотные характеристики (ЛАЧХ или ЛАХ) можно складывать графически, а для новых динамических звеньев можно просто строить асимптотические ЛАЧХ, т.е. характеристики в виде ломаных линий из прямолинейных отрезков к которым асимптотически приближаются действительные ЛАЧХ.
Определение:
ЛАЧХ или ЛАХ системой называют график функции L(ω) вида:
При построении ЛАЧХ по оси абсцисс откладывают частоту в логарифмическом масштабе, т.е. lgω. За единицу измерения частоты принята логарифмическая единица декада.
Декадой называют интервал частот, соответствующий изменению частоты в 10 раз.
На логарифмической шкале декада изображается отрезком единичной длины, т.к. lg10ω-lgω=1. Поэтому относительно логарифмической величины lgω логарифмическая шкала является равномерной, а относительно частоты ω неравномерной (рис8.3).
Логарифмической
единицей усиления или ослабления сигнала
при его прохождении через какое либо
устройство при выражении десятичным
логарифмом отношения мощности на выходе
к мощности на входе
является бел (Б).
Т.к. мощность сигнала
пропорциональна квадрату его амплитуды,
то
,Б.
Т.к. бел является достаточно крупной единицей, то в ТАУ за единицу измерения принят децибел( дБ),
1дБ=0,1Б.
С учётом этого
При А(ω)›1 L(ω)›0- усиление сигнала;
А(ω)=1 L(ω)=0- отсутствие усиления;
А(ω)‹1 L(ω)‹0- ослабление сигнала;
Точка ω=0 лежит на оси частот слева в бесконечности, т.к.lg0=-∞. В связи с этим ось ординат проводят через любую точку на оси абсцисс, чтобы справа разместить нужную часть ЛАЧХ.
Логарифмическую фазо-частотную характеристику (ЛФЧХ) строят в системе координат с такой же ось абсцисс, что и у ЛАЧХ, а по оси ординат откладывают в линейном масштабе угол φ(ω) в градусах или в радианах. ЛФЧХ строят обычно под ЛАЧХтак, чтобы можно было сопоставить изменение фазы с изменением амплитуды при одинаковых частотах.
Наклон отрезков асимптотической ЛАЧХ определяют в децибелах на декаду(дБ/дек).они имеют положительный и отрицательный наклон, кратный 20дБ/дек.
L(ω)
40
20
0
-20ДБ/дек
+20ДБ/дек
2 100
1 10
0 1
lg ω, дек ω,
сек-1
φ(ω)
π
-π
lg ω, дек
Рисунок 8.4
Примеры:
1)Пусть А(ω)=к0 , тогда
L(ω)=20 lgA(ω)=20lgk0 (0 дБ/дек)
2)Пусть А(ω)=к1/ω, тогда
L(ω)=20lgk1-20lgω (-20 дБ/дек)(*)
ωср=к1 ; ω=1 L(ω)=20lgk1
3)Пусть А(ω)=к2/ω2, тогда
L(ω)=20lgk2-40lgω (-40 дБ/дек)
ωср=к1/2 ; ω=1 L(ω)=20lgk2
4) Пусть А(ω)=кn/ωn, тогда
L(ω)=20lgkn-n*20lgω (-n*20 дБ/дек)
ωср=к1/n ; ω=1 L(ω)=20lgkn
5) Пусть А(ω)=к1*ω, тогда
L(ω)=20lgk1+20lgω (20 дБ/дек)
ωср=1/к; ω=1 L(ω)=20lgk1
6) Пусть А(ω)=кn*ωn, тогда
L(ω)=20lgkn+n*20lgω (n*20 дБ/дек)
ωср=1/кn; ω=1 L(ω)=20lgkn