Лабораторная работа № 3. ( 4 часа ) изучение законов вращательного движения с помощью маятника обербека

Цель работы. Проверить основной закон динамики вращательного движения.

Теоретическое введение. Вращательным движением называется такое движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения.

Основной закон динамики вращательного движения: угловое ускорение , с которым вращается тело, прямопропорционально суммарному моменту сил , действующих на тело, и обратнопропорционально моменту инерции тела I относительно оси вращения:

, (1)

Моментом силы относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора , проведенного из точки О в точку приложения силы, на вектор силы

. (2)

Модуль момента силы равен

, (3)

где  – угол между векторами и , l – плечо силы.

Плечом силы называется кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой О. Из рисунка 1 видно, что l = r ∙sin α .

О Рис. 1. Момент силы относительно неподвижной точки О.

О Рис. 2. Момент силы относительно неподвижной оси Z.

Моментом силы относительно неподвижной оси Z называется скалярная величина M_Z, равная проекции на эту ось вектора момента силы, определенного относительно произвольной точки О данной оси Z. Значение момента не зависит от выбора положения точки О на оси Z (рис. 2).

Направление вектора момента силы определяется по правилу векторного произведения: если буравчик (винт с правой резьбой) расположить в плоскости, перпендикулярной плоскости расположения векторов, стоящих в векторном произведении и вращать ручку буравчика от первого вектора в векторном произведении ко второму по наименьшему углу, то направление поступательного движения острия буравчика покажет направление вектора, определяемого через данное векторное произведение.

Так, в примере на рисунке 1 вектор момента силы перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и , и направлен в плоскость чертежа “от нас”. Направлению момента силы относительно заданной оси Z обычно приписывают направление этой же самой оси (рис. 2). Момент силы, вызывающий вращение тела против часовой стрелки принято считать положительным, по часовой стрелке – отрицательным.

Угловое ускорение – это векторная физическая величина, которая определяет быстроту изменения угловой скорости:

, (4)

где  угловая скорость, а  угловое перемещение.

Единица измерения углового ускорения в системе СИ – радиан на секунду в квадрате (рад/с²).

Направление угловой скорости определяется по правилу правого винта: если ручку винта вращать по направлению вращения тела, то направление поступательного движения острия винта покажет направление вектора угловой скорости. Направление углового ускорения совпадает с направлением вектора угловой скорости , если движение равноускоренное, и противоположно направлено, если движение равнозамедленное.

В соответствии с основным законом вращательного движения можно сказать, что направление совпадает с направлением результирующего момента силы , действующего на тело.

Моментом инерции материальной точки относительно оси вращения называется произведение массы этой точки на квадрат расстояния от нее до оси вращения:

. (5)

Моментом инерции системы материальных точек (тела) относительно оси вращения называется физическая величина, равная сумме произведения масс n материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси

, (6)

где m_i  масса i-й материальной точки, а r_i  расстояние от этой точки до оси вращения.

Отметим, что момент инерции всегда определяется относительно заданной оси. Момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении.

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ И ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Для проверки основного закона динамики вращательного движения используется установка (рис. 3), называемая маятником Обербека. Она представляет собой шкив с приваренными к нему спицами. На спицах могут перемещаться два груза массой m0 = 53 г каждый, которые закрепляются специальными винтами на расстоянии R от оси вращения. На шкиве радиуса r намотана прочная нить, к которой прикреплен груз массой m. При свободном опускании груза маятник вращается с постоянным ускорением. Поскольку ось вращения для маятника Обербека закреплена, то соотношение (1) можно рассматривать в скалярном виде . (7)

Рис. 3. Схема экспериментальной установки машины Обербека.

Чтобы установить справедливость соотношения (7), необходимо установить справедливость двух зависимостей

(8)

Обозначим через I₀  момент инерции маятника без грузов относительно оси вращения, а через Т  силу натяжения нити. Тогда результирующий момент инерции маятника окажется равным

I = I_ο + 2m_ο R², (9)

где 2m_οR² – момент инерции грузов, находящихся на расстоянии R от оси вращения.

Результирующий момент сил равен

M = Tr  M_тр , (10)

где M_тр  момент сил трения, возникающий между осью и шкивом, который для каждой установки постоянен. Составим систему уравнений движения маятника и опускающегося груза

, (11)

где а  ускорение опускающегося груза.

Умножим второе уравнение системы (11) на радиус шкива r и сложим с первым. При этом следует учесть, что . Тогда , с учетом формулы (9), получим:

. (12)

Так как при проверке первой зависимости (8) момент инерции системы не изменяется и в соотношении (12) знаменатель остается постоянным, то можно ввести следующие обозначения в выражении (12):

I₁ = I_ο + 2m_οR² + mr² ,  некоторые постоянные.

Тогда . (13)

Здесь момент силы тяжести груза mgr выступает в качестве аргумента. Установим R равным его среднему значению 10 см. Масса m может быть набрана из трех грузов  одного основного 51 г (платформы) и двух дополнительных  51 г и 102 г. Диаметр шкива равен 20 мм, но при наматывании нити конечный диаметр составляет 24 мм. Поэтому можно принять эффективный диаметр шкива равным 22 мм, а эффективный радиус r =11 мм. Ускорение опускающегося груза может быть найдено, как . Тогда с учетом выражения угловое ускорение определится как . (14)

Изменение массы груза m производится в соответствии с таблицей 1 исходных данных, в которую так же вносятся результаты измерений и расчетов.

Таблица 1

№ изм.	m, г	mgr ∙10-2, Нм	t1 , c	t2 , c	t3 , c		tср , c	 , рад/с2	, рад/с2	Относит. погрешность, %
1	51	0,55
2	51+51=102	1,10
3	51+102=153	1,65
4	51+102+51=204	2,20
Данные установки: h = 1,40 м; R = 10 см; r =11 мм .						tсист = с ; hcист = м.

По данным таблицы 1 строится график зависимости углового ускорения  от момента силы тяжести опускающегося груза  mgr, т.е. ε=f(mgr). Отрезок, отсекаемый прямой на оси моментов сил, равен моменту сил трения, возникающему при трении шкива об ось.

Проверка второй зависимости (8) осуществляется путем выполнения второй серии опытов. Для этого перепишем соотношение (12) в виде

. (15)

При постоянной массе m груза второе слагаемое, а также знаменатель первого слагаемого в выражении (15) остаются постоянными. Таким образом, величина 1/ должна быть пропорциональна изменяющемуся моменту инерции грузов 2m_οR². Величину 1/ находят в соответствие с (14) по формуле: .

Массу груза m на нити установить равной 102 г. Момент инерции грузов меняется за счет изменения расстояния R грузов m₀ до оси вращения в соответствии с таблицей 2, в которую так же вносятся результаты измерений и расчетов.

Таблица 2

№ изм.	R, см	2mοR2 ∙10-3, кгм2	t1 , c	t2 , c	t3 , c	tср , c	 -1 , с2/рад	 -1 , с2/рад	Относит. погрешность, %
1	5	0,265
2	10	1,06
3	15	2,39
4	19	3,83
Данные установки: h = 1,40 м; m = 102 г; mgr = 0,011 Нм .

По данным таблицы 2 строится график зависимости 1/ от переменного момента инерции 1/ε=f(2m_οR²). Отрезок, отсекаемый графиком на оси моментов инерции, равен моменту инерции маятника без грузов m₀ , то есть моменту инерции шкива и спиц.

По данным приборов определяют систематические погрешности t_сист и h_cист. Поскольку высота, с которой опускается груз каждый раз задается одинаковым образом, то можно считать, что h_сл=0. Случайная погрешность в определении времени находится обычным образом по трем измерениям. Полная погрешность находится по формуле t =t_cист+t_сл. Погрешность r можно положить равной 1 мм. Погрешности в определении углового ускорения рассчитываются по формулам:

. (16)

Выражение, стоящее в квадратных скобках, следует рассчитать один раз для средней строки одной из таблиц и использовать это значение для расчета погрешностей  и ^-1 в каждой строке таблиц 1 и 2. По результатам работы сделать соответствующие выводы.