Композиции двумерных преобразований

Но обычно при работе с графической системой объект подвергается сразу не­скольким преобразованиям. Для получения желаемого результата используют композицию преобразований, объединяя матрицы T,S,R. К точке более эффек­тивно применять одно результирующее преобразование, чем ряд преобразований последовательно.

Рассмотрим, например, поворот объекта относительно некоторой точки Р₁(х₁у₁).

Ранее был рассмотрен поворот относительно начала координат. Для решения этой задачи разобьем ее на три части (три элементарных преобразования) (рис. 2.5):

1. перенос точки Р₁ в начало координат - T(-x₁,-y₁)

2. поворот – R(Θ)

3. перенести точку Р₁ из начала координат в исходную позицию -T(x₁,y₁)

Р езультирующее преобразование

Этот пример хорошо иллюстрирует, как применение однородных координат упрощает задачу.

Аналогично, если нужно отмасштабировать объект относительно точки Р₁(х₁у₁), а не начала координат, следует:

1. перенести точку Р₁ в начало координат - T(-x₁,-y₁)

2. масштабировать S(Sx_,Sy)

3. перенести точку Р₁ назад -T(-x₁,-y₁)

Рис. 2.5. Поворот объекта относительно точки P₁

Результат имеет вид

Если нужно масштабировать, повернуть и расположить в нужном месте домик (центром поворота и масштабирования является точка P₁), то необходимо выпол­нить:

1. перенос точки P₁ в начало координат — Т(-x₁,-y₁)

2. масштабирование — S(Sx, Sy)

3. поворот – R(Θ)

4. перенос точки P₁ из начала координат назад Т(х₁,_,y₁)

В структуре данных, в которой содержится это преобразование, могут находиться и масштабный коэффициент S, угол поворота Θ и координаты (x₁,y₁). И тогда матрица результирующего преобразования будет иметь вид.

T(-x1,-y1)*S(Sx,Sy)*R(Θ)*T(x₁,y₁)

Матричное представление трехмерных преобразований

Аналогично тому, как двумерные преобразования описываются матрицами раз­мером 3x3, трехмерные могут быть представлены в виде матриц 4 х 4. И тогда трех­мерная точка Р(х, у, z) записывается в однородных координатах как P(W * х, W * y, W * z, W), где W ≠ 0. Если же W- 1, то точка представляется в виде Р(х, у, z, 1).

Перенос

Трехмерный перенос является простым расширением двумерного:

Масштабирование

Расширяется аналогичным образом:

или

Поворот

Двумерный поворот, рассмотренный ранее, является в то же время трехмерным поворотом вокруг оси Z:

Матрица поворота вокруг оси X:

М атрица поворота вокруг оси Y:

1. Θ ₁ - поворот вокруг оси Z до совмещения с плоскостью XZ.

2. Θ₂ - п оворот вокруг оси Y до совмещения с полуосью X.

Композиции трехмерных преобразований

Как и в случае двумерных преобразований, работая с трехмерными можно выполнять более сложные действия путем комбинации элементарных раций. Ниже рассмотрен пример преобразования трехмерного отрезка (рис. 2.7)

Необходимо преобразовать отрезок P₁P₂ из начальной позиции в конечную таким образом, чтобы точка Р₁ совпала с началом координат, а отрезок P₁P₂ рас­полагался вдоль отрицательной полуоси Z. На длины отрезков преобразование не воздействует.

Для решения этой задачи следует выполнить три шага:

1. перенос точки Р₁ в начало координат (рис. 2.8):

2) поворот вокруг оси У до совмещения отрезка P₁P₂ с плоскостью YZ (рис. 2.9)

3) поворот вокруг оси X до совмещения отрезка P₁P₂ с отрицательной полу­осью Z (рис. 2.10).

Матрица преобразования при переносе точки P₁ в начало координат имеет вид:

Применим преобразование переноса к точкам P_1,P_2, P₃.

При повороте вокруг оси У на угол Θ (угол положительный) (см. рис. 2.9) опре­деляется:

Где

Подставляя эти выражения в матрицу поворота, находим

Поворот вокруг оси X на угол φ (угол отрицательный) (см. рис. 2.10) выража­ется:

где

Общий результат поворота после выполнения трех действий: