17

Геометрические преобразования

При работе с графическими системами и формировании изображения посто­янно возникает необходимость его изменить. В распоряжении пользователя на­ходится большой арсенал команд редактирования: перемещение, поворот, осевая симметрия, подобие, копирование, изменение размеров объекта и многие дру­гие.

Двумерные преобразования

В основе изменения графической информации лежат три основных преобразо­вания: перенос, масштабирование и поворот. На их основе строятся все известные изменения объектов в графических системах.

Перенос

Точки на плоскости можно перенести в новые позиции путем добавления к ко­ординатам этих точек констант переноса. Для каждой точки Р(х, у), которая пе­ремещается в новую точку Р'(х',у') сдвигаясь на Dx единиц по оси X и на Dy по оси Y. можно написать

Но объект представляет собой множество точек. Его можно переносить, при­меняя уравнение переноса к каждой точке. Однако каждый отрезок состоит из бесконечного числа точек, и этот процесс длился бы бесконечно долго. Удобнее перенести все точки, принадлежащие отрезку, путем перемещения одних лишь крайних его точек, а затем вычертить новый отрезок между ними (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Перенос объекта

Масштабирование

Точки можно масштабировать (растянуть) в S_x раз по оси X и в S_y раз по оси Y. Получим новые точки с помощью умножения:

x’ = x*Sx,y’ = y*Sy

Определить S в виде матрицы:

,

м ожно записать в матричной форме:

[x’y’] = [xy] *

или

P’ = P*S.

М асштабирование производится относительно начала координат (рис. 2.2). В результате домик стал меньше и ближе к началу координат. Если бы масштабные коэффициенты были больше единицы, домик увеличился бы и отдалился от начала координат. Пропорции домика тоже изменились. Было применено неоднородное масштабирование, при котором S_x ≠ S_y. Однородное масштабирование (S_x = S_y ) не влияет на пропорции.

Поворот

Т очки могут быть повернуты на угол α относительно начала координат (рис. 2.3).

Тогда координаты точки Р':

x’ = xcosΘ – ysinΘ,

y’ = xsinΘ + ycosΘ

В матричной форме:

или P’ = P*R , где R — матрица поворота.

П оложительное значение соответствует повороту против часовой стрелки (рис. 2.4), отрицательное — по часовой стрелке.

Рис. 2.4. Поворот объекта

Однородные координаты и двумерные преобразования

Преобразования переноса, масштабирования и поворота в матричной форме имеют вид:

P’ = P + T

P’ = P*S

P’ = P*R

Перенос реализуется с помощью операции сложения, а масштабирование и по­ворот — с помощью умножения. Это вызывает неудобство при осуществлении нескольких преобразований над объектом. Каждую точку объекта придется после­довательно подвергать каждому преобразованию. Если объект имеет N точек и необходимо провести, например, три последовательных преобразования, то пона­добится 3 * N действий. Удобно было бы все преобразования представить в единой форме. Тогда можно было бы один раз найти результирующую матрицу преобразо­вания, а затем лишь умножить ее на все точки. В таком случае количество действий стало бы N + 2, где 2 — это две операции по умножению трех матриц. Если выразить точки в однородных координатах, то все три преобразования можно реализовать с помощью операции умножения. И хотя умножение выполняется аппаратно медленнее сложения, и размерность матриц увеличивается на единицу, при большом количестве точек объекта наблюдается ощутимое преимущество.

В однородных координатах точка Р(х, у) записывается как Р( W*х, W*у,W), где W— масштабный множитель, не равный нулю.

При этом если точка задана в однородных координатах Р(Х, Y,W), то можно найти ее декартовы координаты:

X = , Y = .

Если же W = 1, то операция деления не нужна:

P(x,y,1) , P’(x’,y’,1)

Основные преобразования в однородных координатах выразятся следующим образом.

Перенос

У равнение переноса запишется в виде матрицы преобразования:

1 0 0

[x’ y’ 1] = [x y 1] * 0 1 0

D_x D_y 1

Или P’ = P * T (D_x , D_y), где

П еремножив, получим:

[x’ y’ 1] = [x + D_x , y + D_y , 1].

То есть перенос – функция аддитивная.

М асштабирование

/

[x’ y’ 1] = [x y 1] *

Уравнение масштабирования в матричной форме имеет вид:

О пределяя

имеем:

P’ =P*S(Sx,Sy)

Перемножив, получим:

[x’ y’ 1] = [x*Sxy*Sy1].

Докажем что масштабирование – функция мультипликативная, то есть если точку P(x,y) промасштабировать в точку P’(x’,y’) c S= (Sx₁,Sy₁), а потом – в точку P’’(x’’,y’’) c S=(Sx₂,Sy₂), то результат будет иметь вид: S =(Sx₁*Sx₂*Sy₁*Sy₂).

С помощью масштабирования легко реализуется осевая симметрия. Для этого используется отрицательные значения коэффициентов масштабирования в матрице.

Поворот