1.Напряжения

1.1. Общие понятия

Тело, подвергающееся действию сил, находится в напряжен­ном состоянии. Внешние силы, действующие на тело, бывают двух основных видов: поверхностные и объемные (массовые).

К поверхностным силам относят силы, прило­женные к поверхности тела. Они могут быть сосредоточенными и распределенными.

К объемным силам относят силы, действующие на все материальные точки тела и пропорциональные их массам, например силы тяжести, силы инерции и др. В дальнейшем дей­ствие объемных сил рассматривать не будем.

При изучении напряженного состояния принимаем, что тело однородно, изотропно и представляет собой систему непрерыв­ных материальных точек. Если система точек находится в равно­весии, то принимается, что внешние силы уравновешиваются так, как если бы система отвердела. Это так называемый принцип отвердения.

При упругом состоянии равновесие может существовать при разных соотношениях внешних сил.

При пластическом равновесии соотношения и величины сил должны быть вполне определенны.

Под действием внешних сил в теле возникают внутренние усилия. Предел отношения внутреннего усилия ΔР, действующего на какую-либо элементарную площадку, выделенную в рассма­триваемой точке тела, к ее площади ΔF при неограниченном уменьшении последней называется напряжением S:

.

Каждая точка в напряженном теле находится под действием всех ее окружающих точек, а поэтому в любой плоскости, прове­денной через данную точку, на нее будет действовать напряжение, характеризуемое определенной величиной и направлением.

Полное напряжение по правилу параллелепипеда всегда можно разложить на три: одно нормальное и два касательных. В равной мере полное напряжение можно разложить на три по направле­ниям осей координат.

1.2. Напряжения в координатных площадках

Проведем через напряженную точку А (рис. 1) три плоско­сти, параллельные плоскостям координат. Для того чтобы иметь возможность обозначить на чертеже напряжения, действующие на точку в этих плоскостях, построим параллелепипед, ребра которого примем бесконечно малыми, неограниченно прибли­жающимися к точке. Тогда на гранях такого элементарного параллелепипеда, проходящих через точку А, можно изобразить векторы напряжений, действующих на точку в трех взаимно пер­пендикулярных плоскостях (координатных площадках). При этом напряжение в каждой площадке разложим на три: одно нормальное и два касательных, которые направим параллельно осям координат. Таким образом, всего получим три нормальных и шесть касательных напряжений.

Нормальные напряжения в координатных площадках обозна­чим σ, касательные τ. Примем индексы из двух букв. Первая буква будет указывать ту координатную ось, по направлению которой действует напряжение, а вторая – ту координатную ось, которая нормальна (перпендикулярна) той площадке (внешняя нормаль), к которой напряжение приложено (адрес напря­жения). Например, τ_ху – касательное напряжение, действую­щее параллельно оси х на площадку, перпендикулярную к оси у, т.е. на площадку, параллельную плоскости хz. Поскольку для нормальных напряжений направление и адрес совпадают, при­меним для их обозначения индекс из одной буквы, например σ_х, вместо σ_хх.

Напряжения, действующие в точке по площадкам, параллель­ным плоскостям координат, геометрически изображены на рис. 1 стрелками.

Рисунок 1.

Нормальные напряжения считают положительными, если они стремятся вызвать растяжение.

Знак касательных напряже­ний зависит от знака и направле­ния нормального напряжения в рассматриваемой грани элемен­тарного параллелепипеда.

Касательные напряжения, на­правления которых совпадают с положительными направления­ми координатных осей, считают положительными при условии, если направление растягивающего нормального напряжения по той же координатной площадке сов­падает с положительным на­правлением соответствующей координатной оси (или если сжимающее нормальное напряжение направлено по отрицательному направлению координатной оси).

Если направления нормальных напряжений противоположны указанным, то касательные напряжения следует считать поло­жительными, когда их направления совпадают с отрицательными направлениями соответствующих координатных осей.

На рис. 1 все напряжения являются положительными. Запишем напряжения в точке по трем координатным площадкам в форме матрицы

(1)

В каждой горизонтальной строчке записаны напряжения одного направления в последовательности адресов х, у и z. В каждом вертикальном столбике записаны напряжения одного адреса в последовательности направлений х, у, z.

В трех взаимно перпендикулярных площадках можно представить девять напряжений: три нормальных и шесть касатель­ных. Однако вследствие парности касательных напряжений различные значения могут быть только у шести напряжений: трех нормальных и трех касательных, так как

и (2)

(касательные напряжения с индексами из двух одинаковых букв равны между собой независимо от порядка расположения букв в индексе).

Если учесть равенства (2), то легко установить, что каса­тельные напряжения, расположенные в матрице симметрично относительно главной диагонали, попарно равны между собой. Учитывая это, матрицу можно переписать сокращенно

. (1а)

Указания направления и адреса в индексах касательных напряжений можно было бы поменять местами, т.е. первый индекс считать за указание адреса, второй – за указание направ­ления. Все выводимые далее выражения и формулы при такой перестановке индексов останутся без изменения. Такое заклю­чение можно, например, сделать на основании равенств (2).