- •Занятие 1 Первообразная функция и неопределённый интеграл. Непосредственное интегрирование
- •Свойства неопределённого интеграла
- •Занятие 2 Метод подстановки (замена переменной) Цели
- •Аудиторное занятие
- •Примерный вариан решения индивидуального задания
- •Занятие 3 Интегрирование по частям
- •Аудиторное занятие
- •Домашнее задание
- •1. Метод сравнивания коэффициентов
- •2. Метод частных значений аргумента
- •Аудиторное занятие
- •Домашнее задание
- •Занятие 5 Интегрирование рациональных дробей вида
- •Примерный вариан решения индивидуального домашнего задания
- •Занятие 6 Интегрирование тригонометрических функций
- •Аудиторное занятие
- •Домашнее задание
- •Аудиторное занятие
- •Домашнее задание
- •Примерный вариан решения индивидуального домашнего задания
- •Занятие 8 Обзорное
- •Примерный вариант контрольной работы
- •Контрольные вопросы
- •1. Первообразная и её свойства
- •2. Неопределённый интеграл и его свойства
- •Литература
- •Содержание
- •Интегрирование некоторых иррациональностей…………………….С 65
1. Метод сравнивания коэффициентов
Правильную дробь разложить на сумму простейших слагаемых. В результате получим тождество , где S(x) — многочлен с неопределёнными коэффициентами.
Так как в полученном тождестве знаменатели равны, то тождественно равны и числители, т.е. .
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях тожества , получаем систему линейных уравнений, из которых и определяем искомые коэффициенты.
2. Метод частных значений аргумента
Правильную дробь разложить на сумму простейших слагаемых. В результате получим тождество , где S(x) — многочлен с неопределёнными коэффициентами.
Так как в полученном тождестве знаменатели равны, то тождественно равны и числители, т.е. .
Аргументу х придают конкретные значения столько раз, сколько неопределённых коэффициентов (обычно полагают вместо х значения действительных корней многочлена Q(x)).
Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей.
Если дробь простейшая, то воспользоваться соответствующей формулой:
= .
№4. Найти интегралы: 1) ; 2) ;
3) ; 4) .
►1) = ;
2) = = = ;
3) . Подынтегральное выражение — неправильная дробь. Разложим знаменатель дроби на простые действительные множители. Имеем
.
Представим дробь в виде простейших рациональных дробей:
.
Корень х=2 имеет кратность, равную двум, поэтому в разложении ему соответствуют два слагаемых. Теперь приведём это разложение к общему знаменателю, а затем, освободившись от него, получим
;
.
Из этого тождества определим коэффициенты А, В, С методом сравнивания коэффициентов: приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа, получаем систему из трёх уравнений с тремя неизвестными
, , .
Окончательно имеем:
.
Следовательно, =
= = .
4) . Подынтегральная дробь — неправильная. Исключим целую часть, для этого путём деления многочлена на многочлен данную дробь представим в виде суммы целой рациональной функции и правильной дроби:
.
Разложим знаменатель правильной рациональной дроби на множители и представим её в виде суммы простейших рациональных дробей.
.
Дроби приводим к общему знаменателю и, освободившись от него, получаем
Из этого тождества определим коэффициенты А, В, С методом частных значений.
Если х=0, то –8= -4А, следовательно, А=2;
Если х=-2. то-24=8С, следовательно, С= -3;
Если х=2, то 40=8В, следовательно, В=5.
Окончательно имеем:
.
Следовательно, =
= =
= =
= .◄
Аудиторное занятие
Найти интегралы
№171. . Ответ: 2ln|x-5|.
№172. . Ответ: .
№173. . Ответ: .
№174. . Ответ: ln|6x+5|.
№175. . Ответ: .
№176. . Ответ: .
№177. . Ответ: .
№178. . Ответ: .
№179. . Ответ: .
№180. . Ответ: .
№181. .
Ответ:
№182. . Ответ: .
№183. . Ответ: .
№184. .
Ответ: .
№185. . Ответ: .
№186. . Ответ: .