Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
неопред-интеграл.doc
Скачиваний:
6
Добавлен:
19.08.2019
Размер:
2.95 Mб
Скачать

1. Метод сравнивания коэффициентов

  1. Правильную дробь разложить на сумму простейших слагаемых. В результате получим тождество , где S(x) — многочлен с неопределёнными коэффициентами.

  2. Так как в полученном тождестве знаменатели равны, то тождественно равны и числители, т.е. .

  3. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях тожества , получаем систему линейных уравнений, из которых и определяем искомые коэффициенты.

2. Метод частных значений аргумента

  1. Правильную дробь разложить на сумму простейших слагаемых. В результате получим тождество , где S(x) — многочлен с неопределёнными коэффициентами.

  2. Так как в полученном тождестве знаменатели равны, то тождественно равны и числители, т.е. .

  3. Аргументу х придают конкретные значения столько раз, сколько неопределённых коэффициентов (обычно полагают вместо х значения действительных корней многочлена Q(x)).

  1. Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей.

  • Если дробь простейшая, то воспользоваться соответствующей формулой:

= .

4. Найти интегралы: 1) ; 2) ;

3) ; 4) .

►1) = ;

2) = = = ;

3) . Подынтегральное выражение — неправильная дробь. Разложим знаменатель дроби на простые действительные множители. Имеем

.

Представим дробь в виде простейших рациональных дробей:

.

Корень х=2 имеет кратность, равную двум, поэтому в разложении ему соответствуют два слагаемых. Теперь приведём это разложение к общему знаменателю, а затем, освободившись от него, получим

;

.

Из этого тождества определим коэффициенты А, В, С методом сравнивания коэффициентов: приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа, получаем систему из трёх уравнений с тремя неизвестными

, , .

Окончательно имеем:

.

Следовательно, =

= = .

4) . Подынтегральная дробь — неправильная. Исключим целую часть, для этого путём деления многочлена на многочлен данную дробь представим в виде суммы целой рациональной функции и правильной дроби:

.

Разложим знаменатель правильной рациональной дроби на множители и представим её в виде суммы простейших рациональных дробей.

.

Дроби приводим к общему знаменателю и, освободившись от него, получаем

Из этого тождества определим коэффициенты А, В, С методом частных значений.

Если х=0, то –8= -4А, следовательно, А=2;

Если х=-2. то-24=8С, следовательно, С= -3;

Если х=2, то 40=8В, следовательно, В=5.

Окончательно имеем:

.

Следовательно, =

= =

= =

= .◄

Аудиторное занятие

Найти интегралы

171. . Ответ: 2ln|x-5|.

172. . Ответ: .

173. . Ответ: .

174. . Ответ: ln|6x+5|.

175. . Ответ: .

176. . Ответ: .

177. . Ответ: .

178. . Ответ: .

179. . Ответ: .

180. . Ответ: .

181. .

Ответ:

182. . Ответ: .

183. . Ответ: .

184. .

Ответ: .

185. . Ответ: .

186. . Ответ: .