- •Занятие 1 Первообразная функция и неопределённый интеграл. Непосредственное интегрирование
- •Свойства неопределённого интеграла
- •Занятие 2 Метод подстановки (замена переменной) Цели
- •Аудиторное занятие
- •Примерный вариан решения индивидуального задания
- •Занятие 3 Интегрирование по частям
- •Аудиторное занятие
- •Домашнее задание
- •1. Метод сравнивания коэффициентов
- •2. Метод частных значений аргумента
- •Аудиторное занятие
- •Домашнее задание
- •Занятие 5 Интегрирование рациональных дробей вида
- •Примерный вариан решения индивидуального домашнего задания
- •Занятие 6 Интегрирование тригонометрических функций
- •Аудиторное занятие
- •Домашнее задание
- •Аудиторное занятие
- •Домашнее задание
- •Примерный вариан решения индивидуального домашнего задания
- •Занятие 8 Обзорное
- •Примерный вариант контрольной работы
- •Контрольные вопросы
- •1. Первообразная и её свойства
- •2. Неопределённый интеграл и его свойства
- •Литература
- •Содержание
- •Интегрирование некоторых иррациональностей…………………….С 65
Занятие 2 Метод подстановки (замена переменной) Цели
Знать:
таблицу дифференциалов от основных элементарных функций;
таблицу интегралов от основных элементарных функций;
основные приёмы метода подведения под дифференциал.
Уметь:
Находить интегралы методом непосредственного интегрирования и методом подведения под дифференциал.
Если интеграл непосредственно не берётся, то во многих случаях метод интегрирования заменой переменной приводит к цели.
Пусть требуется найти , где подынтегральная функция непрерывна. Применив подстановку , получим
. (9)
Не существует общего «рецепта», следуя которому можно всегда понять, какую подстановку надо применить к данному интегралу, однако после приобретённого навыка вы скоро научитесь этому. Однако следует иметь в виду следующие полезные подсказки:
Если под знаком интеграла стоит сложная функция , как правило, используется подстановка .
Если в подынтегральном выражении есть готовый дифференциал функции , т.е. выражение , то имеет смысл попробовать подстановку . Поэтому целесообразно запомнить таблицу дифференциалов.
Правило поправочного коэффициента
, (a, b — const). (10)
Постановка задачи. Найти .
План решения. Для нахождения интеграла следует:
переписать интеграл в виде ;
заменить , что приводит к равенству ;
вычислить последний интеграл;
в полученном ответе произвести обратную замену t= .
№2. Найти интегралы:1) ; 2) ;
3) ; 4) ; 5) ;
6) , 7) .
►1) = = = = =
= ;
Здесь и далее при записи решений примеров все промежуточные выкладки мы будем заключать между вертикальными линиями.
2) = = =
= =3х-ln|x+2|+C;
Замечание. Фактически мы здесь разделили числитель на знаменатель, т.е. из неправильной алгебраической дроби выделили целую часть.
Проверка. ;
3) = = = =t+C= ;
4) = = = = ;
5) = = = = ;
6) = = =lnt+C=ln|x2+x+1|+C;
7) = = = = =
= = t-arctg t= .◄
Аудиторное занятие
Найти интегралы:
№64. . Ответ: .
№65. . Ответ: .
№66. . Ответ: .
№67. . Ответ: .
№68. . Ответ: .
№69. . Ответ: .
№70. . Ответ: .
№71. . Ответ: .
№72. . Ответ: .
№73. . Ответ: ln|x2+5x-6|.
№74. . Ответ: .
№75. . Ответ: .
№76. . Ответ: sin(ln x).
№77. . Ответ: .
№78. . Ответ: .
№79. . Ответ: ln|2+ln x|.
№80. .
Указание. Подстановка х3=t. Ответ: .
№81. . Ответ: .
№82. . Ответ: .
№83. . Ответ: x-ln|ex+1|.
Домашнее задание
Найти интегралы:
№84. . Ответ: .
№85. . Ответ: .
№86. . Ответ: .
№87. . Ответ: -ln |arccos x|.
№88. . Ответ: .
№89. . Ответ: .
№90. . Ответ: .
№91. . Ответ: .
№92. . Ответ: .
№93. . Ответ: .
№94. . Ответ: .
№95. . Ответ: .
№96. . Ответ: .
№97. .
Указание. Выделить . Ответ: .
№98. . Ответ: .
№ 99. . Ответ: .
№100. . Ответ: .
№101. .
Указание. . Ответ: .
№102. . Ответ: .
№103. . Ответ: .
№104. . Ответ: .
Дополнительные задания
Найти интегралы:
№105. . Ответ: .
№106. . Ответ: .
№107. . Ответ: .
№108. . Ответ: x-5ln|x+3|.
№109. . Ответ: .
№110. . Ответ: .
№111. . Ответ: .
№112. . Ответ: .
№113. . Ответ: .
№114. . Ответ: .
№115. . Ответ: .
№116. . Ответ: .
№117. . Ответ: .
№118. . Ответ: .
№119. . Ответ: .
№120. . Ответ: .
№121. . Ответ: .
№122. . Ответ: .
№123. . Ответ: .
№124. . Ответ: .
№125. . Ответ: .
№126. . Ответ: .
№127. . Ответ: .
№128. . Ответ: .
№129. . Ответ: .
№130. . Ответ: .
№131. . Ответ: .
№132. . Ответ: .
№133. .
Ответ: .
№134. .
Ответ: .
№135. .
Указание. Учесть, что .
Ответ: .