Теорема Безу.

Для того, чтобы многочлен Pn(x) делился бы на x-x₀ без остатка, необходимо и достаточно, чтобы x₀ – был корнем данного многочлена.

Док-во:

Необходим Pn(x)/x₀ без остатка, требуется док-ть, что x₀ – корень.

Pn(x)=(x-x₀)Qn-1(x), подставим x₀ получаем Pn(x₀)=0

Достаточно

x₀ –корень

Pn(x)/(x-x₀) – без остатка, предположим противоположное Pn(x)/(x-x₀) =с –остаток т.е

Pn(x)=(x-x₀) \Sn-1 +R (-нулевая степень остатка)

Подставляем в последнее равенство вместо x P(x₀)=0+R т.к x₀ – корень этого многочлена.

Т.к. Pn многочлен 0-ой степени, то R=0 => значение Pn(x)- делится на x-x₀ без остатка.

Билет N33

Рациональные дроби.

Р.д- дробь вида Pn(x)/Qn(x), где pn(x) и- многочлены степени m или n соответственно Среди рациональных дробей выделяются правильные и неправильные дроби : Pn (x)/Qn(x)- правильная, если m>т (т.е. степень Qn(x) > степени Pn(x) ). В противном случае- дробь неправильная.

Существуют простые дроби :

1) A/(x-a) 2) A/(x-a)^k 3) (Ax+B)/(x²+px+q) где p²-4q<0 4) (Ax+B)/(x²+px+q)^k, p²-4q<0

Пусть дана любая неправильная дробь Pn(x)/Qn(x), тогда эту дробь можно представить в виде Pn(x)/Qn(x)=S_n-m(x)+P_e (x)/Qm(x)

Рассмотрим правильную дробь Pn(x)/Qm(x), пусть многочлен Qm(x) имеет вещественный корень а кратности k, тогда Qm(x)=(x-a)^k S_m-k(x), где S_m-k(a) ≠0, тогда Pn(x)/Qm(x)=Pn(x)/(x-a)^kS_m-k(x)

Покажем, что правильная дробь Pn(x)/(x-a)^kS_m-k(x) может быть представленна в виде суммы двух дробей : A/(x-a)^k + P_e (x)/(x-a)^k-1S_m-k(x) , где последняя дробь правильная

Действительно, очевидно имеет место тождество

Pn(x)/(x-a)^k S_m-k(x)= A/(x-a)^k + (Pn(x)-AS_m-k(x))/ (x-a)^k S_m-k(x) при любом A

Для того, чтобы в числителе последней дроби выделить сомножитель ( x-a ), нужно подобрать A т.о., чтобы числитель делился бы на ( x-a ) без остатка.

Как известно, по Th Безу для этого достаточно, чтобы а было корнем указанного многочлена.

Pn(a)- AS_m-k(a)=0. , т.к. S_m-k(a)≠0, то отсюда легко находим A=Pn(a)/ S_m-k(a). При полученном A правильная дробь Pn(x)/(x-a)^k S_m-k(x) представима в виде

A/(x-a)^k + Pe (x)/(x-a)^k-1S_m-k(x), где Pe (x)=(Pn(x)-A S_m-k(x))/(x-a)

Легко видеть, что предпоследняя дробь- правильная => по только что доказанному она представима в виде суммы: Pe(x)/(x-a)^k-1 S_m-k(x)=B/(x-a)^k-1 +Pe(x)/(x-a)^k-2 S_m-k(x), где последняя дробь- правильная, а она в свою очередь, может быть представлена в виде суммы.

И тогда окончательно мы получим, что правильная дробь

Pn(x)/(x-a)^k S_m-k(x)=A₁/(x-a)^k + A₂/(x-a)^k-1 +…+ A_k/(x-a) + Pe(x)/ S_m-k(x), где последняя дробь- правильная.

Билет n 34

Пусть теперь дана правильная дробь Pn(x)/Qn(x) и пусть Qn(x) имеет комлексно сопряженные корни, каждый из которых имеет кратность k, т.е

Q_m(x)=(x²+px+q)^k S_m-2k(x) , p²-4q<0, тогда имеет место равенство

Pn(x)/Qn(x)=Pn(x) / (x²+px+q)^k S_m-2k(x)=(A_x+B)/ (x²+px+q)^k + Pe(x) / (x²+px+q)^k-1S_m-2k(x), где последняя дробь- правильная.

Таким образом, окончательно получаем, что любая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей:

Pn(x)/Qm(x)= A₁/(x-a)^k1 + A₂/(x-a)^k1-1 +…+ A_k1/(x-a) + B₁/(x-b)^k2 +…+ B_k2/(x-b)+ +(C₁x+D₁) / (x²+p₁x+q₁)^m1 +…+ (C_m1x+D_m1) / (x²+p₁x+q₁) , где k₁+k₂+2m₁=n

Билет N35

Квадратные матрицы.

Рассмотрим некую систему уравнений.

a₁₁ a₁₂ … a_1n x₁ b₁

A= a₂₁ a₂₂ … a_2n x= x₂ B= b₂

……………. … …

a_n1 a_n2 … a_nn x_n b_n

Тогда данную систему можно переписать

A*x=B

A₁- правая обратная матрица для A

A₂- левая обратная матрица, если A₂*A=E

Если матрицы имеют правую и левую обратную матрицу, то эти матрицы совпадают

Умножение слева на A₂

A*A₁=E A₂   A₂*A*A₁=A₂E

EA₁=A₂E

EA₁= A₂

A₂ = A₁

Пусть дана квадратная матрица A, A^-1 называется обратной по отношению к матрице A, если имеет место равенство.

A* A^-1 = A^-1*A=E

Определитель матрицы отличен от нуля => есть обратная

Пусть даны 2 кв. матрицы одного и того же порядка, тогда имеет место равенство :

│A*B│= │A││B│

Ясно, что если матрица A имеет обратную А^-1, то определитель │A│не равен 0.

Предложим потивное

│A*A^-1│=│E(=1)│

│A(=0)││A^-1│=1 абсурд, не может быть

Покажем теперь, что если матрица A не выражена, то она имеет обратную матрицу.

Дана:

a₁₁ a₁₂ … a_1n

A= a₂₁ a₂₂ … a_2n │A│ ≠ 0

…………….

a_n1 a_n2 … a_nn

Рассмотрим матрицу

A₁₁ / │A│ A₁₂ /│A│ … A_n1 /│A│

B= A₁₂ / │A│ A₂₂ /│A│ … A_n2 /│A│

……………………………………..

A_1n / │A│ A_2n /│A│ … A_nn /│A│

Произведение

a₁₁ a₁₂ … a_1n A₁₁ / │A│ A₁₂ /│A│ … A_n1 /│A│

A*B= a₂₁ a₂₂ … a_2n * A₁₂ / │A│ A₂₂ /│A│ … A_n2 /│A│

……………. ……………………………………..

a_n1 a_n2 … a_nn A_1n / │A│ A_2n /│A│ … A_nn /│A│

1 0 … 0

A*B= 0 1 … 0

………..

0 0 … 1

A это и означает, что матрица B является обратной по отношению к А, т.о. мы получили что для того, чтобы матрица A имела обратную матрицу A^-1, необходимо и достаточно, чтобы матрица А была не вырожденной (│A│≠ 0) При этом обратная матрица

A₁₁ / │A│ A₁₂ /│A│ … A_n1 /│A│

A^-1= A₁₂ / │A│ A₂₂ /│A│ … A_n2 /│A│

……………………………………..

A_1n / │A│ A_2n /│A│ … A_nn /│A│

Билет N36

Собственные числа и собственные вектора.

В дальнейшем матрицу- столбец будем называть вектором.

Рассмотрим кв. матрицу A и вектор X размерностью n.

Произведение AX=Y, Y-вектор

Существует вектор X, что AX= λX

Опр: Не нулевой вектор X, для которого выполняться равенство

AX= λX называется собственным вектором матрицы A, а соответствующее ему число λ, называется собственным числом матрицы A.

Покажем, что любая кв. матрица А имеет ровно n собственных чисел, с учетом их кратности.

Пусть λ- собственное число, а X соответствующее ему собственный вектор матрицы A

AX= λX

AX- λX=0

AX- λEX=0

(A-λE)X=0

Очевидно, последнее равенство(ур-ие) равносильно некоторой однородной системе линейных ур-ий. Т.к. эта система имеет не тривиальное решение (X≠0 ), то определитель данной системы должен равняться 0, т.е. для нахождения собственных чисел получаем уравнение : │A-λE│=0

(a₁₁ -λ) a₁₂ … a_1n т.к. каждая строка содержит λ, то данный

│A-λE│= a₂₁ (a₂₂ –λ) … a_2n определитель представляет- многочлен n-ой

…………………………… степени относительно λ, а тогда, как известно,

a_n1 a_n2 … (a_nn –λ) этот многочлен имеет ровно n комплексных корней ( с учетом кратности).