Двойное векторное произведение.

Пусть даны a, b и c. Двойным векторным произведением называется произведение a(bс)- это вектор лежит в плоскости сиb

Ясно, что вектор, определяемый двойным векторным произведением ┴ вектору bс

Сам же вектор bс ┴ (a, c) –плоскости. A потому очевидно, что данный вектор лежит в плоскости вектора bиa.

a (bс)=d

a= { a_x ; a_y; a_z}

b= { b_x ; b_y; b_z }

c= { c_x ; c_y; c_z }

Найдем d_x для этого, прежде всего найдем координаты вектора bc

bc = i j k

a_x a_y a_z = (b_yc_z – c_yb_z )i- (b_zc_x - c_xb_y )j- (b_xc_y - c_xb_y )k

b_x b_y b_z

d_x= a_y (b_xc_y - c_xb_y )- a_z (c_xb_z - b_xc_z )= b_x (a_yc_y + a_zc_z )- c_x (a_yb_y + a_zb_z )=прибавляя и вычитая справа a_xc_xb_x получим= b_x (a_xc_x + a_yc_y + a_zc_z)- c_x (a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z)= b_x (a c )- c_x (a c) т.о.

d_x= b_x (a c )- c_x (a c)

Аналогичным образом легко получить

d_y= b_y (a c )- c_y (a c)

d_z= b_z (a c )- c_z (a c)

Т.о. вектор a(bс)={b_x (a c )- c_x (a b)}i+ {b_y (a c )- c_y (a b)}j+ {b_z (a c )- c_z (a b)}k= (b_x i+ b_y j+ b_z k)(a c)- (c_x i+ c_y j+ c_z k)(a b)=b(a c)- c(a b)

T.о окончательно мы получим, что a(bс)= b(a c)- c(a b)

Билет N13

Аналитическая геометрия пространства.

Плоскость

Ясно, что любая плоскость в пространстве можно определить одним из 2 способов:

1) Точкой Mo(x_o,y_o,z_o) вектором n ={A,B,C} перпендикулярным данной плоскости, который мы будем называть нормалью плоскости.

2) Точками Mo(x,y,z), M₁(x₁,y₁,z₁) и M₂(x₂,y₂,z₂) не лежащими на одной прямой.

Итак, пусть плоскость, определена точкой Mo и n (1 способ)

Найдем уравнение данной плоскости

Обозначим через M(x,y,z) произвольную точку плоскости, тогда очевидно, что MoM┴n (ортогональны), а тогда, как известно, скалярное произведение этих векторов=0, т.е. MoM*n=0

Таким образом мы получили векторное уравнение плоскости.

Переходя к координатам полученных векторов получим уравнение плоскости:

A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0

A_x+By+Cz+D=0 (*)

Таким образом всякая плоскость имеет уравнение вида (*), т.е. каноническое- уравнение плоскости(=определяющее).

Ясно, что коэффициент при x, y и z в каноничном уравнении плоскости дают координаты нормального вектора.

Пусть теперь плоскость определена тремя не лежащими на одной прямой точками Mo(x_o,y_o,z_o), M₁(x₁,y₁,z₁), M₂(x₂,y₂,z₂)

Возьмем на этой плоскости M (x,y,z)

Ясно, что вектора MoM₂ MoM₁ и MoM компланарны, а, как известно, условие компланарности этих векторов:

MoM (MoM₁MoM₂ )=0

Уравнение плоскости:

Билет N 14

Взаиморасположение двух плоскостей

Углом между двумя плоскостями называется линейный угол двугранного угла = угол между нормалями.

Острый угол

Пусть даны 2-е плоскости:

A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0 (1)

A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0 (2)

Угол между плоскостями 1 и 2 мы будем называть: острый угол между нормалями к этим плоскостям.

Отсюда легко получить условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

Если плоскости параллельны, то n₁ и n₂ коллинеарные, т.е. n₁= λ n₂ или

A₁/A₂ = B₁/B₂ = C₁/C₂ = λ

A₁/A₂ = B₁/B₂ = C₁/C₂-условие параллельности

Условие перпендикулярности:

A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂=0

Билет N 15

Прямая в пространстве.

Ясно, что прямую в пространстве можно определить одним из 3-х способов:

1) Точка Mo(x_o,y_o,z_o) принадлежит прямой и l ={m,n,p}параллелен прямой, где l направляющий вектор.

2) Mo(x_o,y_o,z_o), M₁(x₁,y₁,z₁)

3) Пересечением двух плоскостей.

Пусть прямая определена 1-ым способом.

Обозначим через M произвольную точку

Ясно, что вектора MoM и l коллинеарны, т.е. MoM= λ l.

Векторное уравнение прямой.

MoM= λ l

Координатное уравнение (*):

Система (*) называется параметрическим уравнением прямой в пространстве:

m, n, p не равны 0.

каноническое уравнение прямой в пространстве.

Если p=0, то z-z₀ =0

Ясно, что одна или две координаты l могут быть=0. Тогда, например, каноническое уравнение принимает вид:

, что означает, что z-z₀ =0, и

Пусть теперь прямая задается двумя точками Mo(x_o,y_o,z_o) и M₁(x₁,y₁,z₁). Для того, чтобы написать каноническое уравнение прямой надо знать точку, принадлежащею данной прямой (Mo) и направляющий вектор l .

Ясно, что в качестве l можно взять l = MoM = {(x₁-x₀);(y₁-y₀); (z₁-z₀)}

Тогда каноническое уравнение:

Пусть задается пересечением двух плоскостей:

Для нахождения какой-либо (.) принадлежащей данной прямой, как правило, поступают следующим образом: полагают, что одна из координат (например z=0), тогда для нахождения x_o и y₀ полагают:

Отсюда находят x_o и y_{0 .}

Найдя Mo(x_o,y_o,z_o), остается найти направляющий вектор. Ясно, что в качестве направляющего вектора l можно взять l =n₁ n₂ (векторное произведение нормалей) и после этого записать каноническое уравнение.

Билет N 16

Взаимное расположение двух прямых и прямой и плоскости.

Пусть даны 2-е прямые:

Т.к. углом между двумя прямыми (острым) называется угол между направляющими векторами, то

Тогда из полученного выражения легко находим условие параллельности (т.е. l₁ = λ * l₂ ) и перпендикулярности ( l₁ * l₂ = 0)

Билет N 17

Угол между данной прямой и плоскостью называется угол между данной прямой и ее проекцией на плоскость.

Из определения угла:

Из полученного выражения получаем условие параллельности прямой и плоскости:

(n * l)=0 и условие перпендикулярности: n = λ * l

Билет N 18

Эллипс- геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух данных, называемых фокусом, = const

Теорема: В подходящей системе координат эллипс задается уравнением

,

где 2a – сумма расстояний от точек эллипса до фокуса, а b² = a² – c² где 2c- расстояние между фокусами.

Доказательство:

Система координат XOY – называется подходящей, если фокусы эллипса лежат на оси OX, а OY перпендикулярна OX, и проходит через середину расстояния между фокусами.

Пусть M(x;y)- произвольная точка эллипса

F₁M+ F₂ M=2a

F₁M= ((x-c)²+ y²)^1/2 F₂M= ((x+c)²+ y²)^1/2

((x-c)²+ y²)^1/2 + ((x+c)²+ y²)^1/2 =2a

((x-c)²+ y²)^1/2 = 2a-((x+c)²+ y²)^1/2 возведем обе части в квадрат:

x²-2cx+c²+ y² = 4a-4a((x+c)²+ y²)^1/2 + x²+2cx+c²+y²

4a((x+c)²+ y²)^1/2=a²+cx

Возводя еще раз в квадрат, получим:

a²x+2a²cx+a²c²+a²y²=a⁴+²a²cx+c²x²

( a² - c² )x²+ a²y²=a² (a²-c²)

Обозначим a²-c² через b² ,окончательно получим:

Доказано, что, если (.) M(x;y) лежит на эллипсе, то ее координаты удовлетворяют последнему уравнению. Для того, чтобы теорема была доказана, осталось показать, что если найдется (.) M(x; y), удовлетворяющая уравнению, то она лежит на эллипсе.

Пусть нам дан эллипс:

Из уравнения видно, что кривая ограничена, т.е. ее можно поместить в коробочку => │x│≤ a , │y│≤b

Из уравнения видно, что кривая симметрична относительно оси x и y: (x₀; y₀) (x₀; -y₀) (-x₀; y₀).

a и b- полуоси эллипса; a-большая, b-малая –полуоси.

Если окажется, что в уравнении эллипса a=b, то получим вырожденный эллипс ( окружность) : x²+ y²=2a.

Билет N 19