Билет n4

Рассмотрим однородную систему :

Легко видеть, что система (***) имеет решение x₁=x₂=x₃=…=x_n=0, независимо от ∆. Такое Решение называется тривиальным.

Теорема1 Если ∆ ≠0, то (***) имеет только тривиальные решения (по теореме Крамера)

Теорема 2 Если ∆ =0 (***), то (***) имеет, по крайней мере, одно не тривиальное решение.

Доказательство

Для простоты докажем теорему для систем 3-х уравнений с 3-мя неизвестными

Пусть

a₁₁ a₁₂ a₁₃

∆₀ = a₂₁ a₂₂ a₂₃ =0

a₃₁ a₃₂ a₃₃

Предположим, что хотя бы один из миноров 2-ого порядка ≠0.

Пусть, например, это M₂₂= a₁₁ a₁₃ ≠0

a₃₁ a₃₃ и перепишем тогда (0) следующим образом :

Легко видеть, что ∆₀₀-есть M₂₂ ≠0, тогда по теореме Крамера система (00) имеет, и притом, единственное решение

Положим теперь в последнее равенство x₂ ≠0, тогда x₁,x₂,x₃-(где x₂≠0)-является решением 1-го и 3-го уравнения (0). Покажем, что эта же тройка является решением 2-ого уравнения.

Билет N5

Линейные пространства

Пусть нам дано некоторое множество элементов произвольной природы. Данное множество будем называть линейное пространство, если для элементов этого множества определены операции:

1. Для любых 2-х элементов a и b, принадлежащих этому множеству определена операция сложения : a+b

2. Для любых 2-х элементов a и b, принадлежащих этому множеству определена операция умножения на элемент z : za

Операции подчиняются следующим законам:

1 a+b=b+a

2 (a+b)+c=a+(b+c)

3 В этом множестве существует 0 элементов a+0=a

4 Для каждого элемента a существует обратный элемент (-a)

5 (α+β)a=aα+βa

6 (αβ)a= (βa)α

7 a*1=a

т.o., если над множеством введены операции, подчиняющиеся этим законам, то это линейное пространство.

В дальнейшем обозначим линейное как Z.

Рассмотрим множество всех положительных чисел, если это множество с обычными операциями + их умножение не являются линейными в пространстве.

Покажем, что над элементами этого множества можно вести операции сложения и умножения на число так, что множество станет линейным пространством.

1. a+b=(a(b))

возьмем любую λ и любой элемент a λa=a^λ

1 a+b=(ab)=(ba)=b+a

2

3 0=(1) a+0=a=a*1

4 a -a=1/a a+(-a)=a*(1/a)=0(1)

Линейная зависимость и независимость элементов линейного

пространства.

Пусть дано некоторое линейное пространство L, Пусть a₁,a₂,…,a_n принадлежат L

Элементы a₁,a₂,…,a_n – линейно независимы, если равенство λ₁a₁+ λ₂a₂+…+ λ_na_n=0 выполняется тогда и только тогда, когда все λ₁+λ₂+…+ λ_n=0. В противном случае будем говорить, что сумма элементов линейна зависима.

Свойства линейно зависимых систем

1. Если система элементов a₁,a₂,…,a_n – линейно зависима, то хотя бы 1 из элементов этой системы представим в виде линейной комбинации остальных.

Пусть a₁,a₂,…,a_n – линейно зависима, тогда равенство λ₁a₁+ λ₂a₂+…+ λ_na_n=0 выполнимо, и хотя бы 1 из λ≠0

Пусть λ₁≠0, тогда λ₁a₁= - λ₂a₂-…- λ_na_n –линейная комбинация

т.к. λ₁≠0, то a₁= - (λ₂/λ₁)a₂ -…- (λ_n/λ₁)a_n

2. Если система элементов (a) содержит 0 элементов, то она линейно зависима

Пусть, например a₁=0, 1*a₁+0*a₂+…+0*a_n=0

Из последнего равенства следует, что система линейно зависима, т. к. 1=λ₁≠0

Билет N6

Размерность линейного пространства

Пусть дано некоторое пространство L. Будем говорить, что линейное пространство L- n-мерно если в этом пространстве n линейно-независимых элементов, а любое n+1 не независим.

Если же пространство n-мерно то обозначим Ln.

Пусть дано n-мерное пространство Ln любая упорядоченная система линейно независимых n элементов называется базисом в этом пространстве l₁,l₂,…,l_n-базис.

Теорема

Если l₁,l₂,…,l_n- базис в пространстве Ln то любой элемент l₁ принадлежащий этому пространству представим в виде линейной комбинации базисных элементов и это представление единственное.

Док-во.

Пусть a –произвольный элемент принадлежащий L. Тогда система элементов l₁,l₂,…,l_n, a- линейно зависима, т. к. n- элементов линейно независимо, а n+1 линейно зависимо, тогда λ₀a+λ₁l₁+ λ₂l₂+…+ λ_nl_n=0 выполняется равенство и хотя бы 1 из λ≠0 Пусть λ₀≠0

Ясно, что λ₀ => a= - (λ₁/λ₀)l₁ -(λ₂/λ₀)l₂ -…- (λ_n/λ₀)l_n => a представим в виде линейной комбинации. Полагаем, что такое представление единственное.

Предположим, a=α₁l₁+α₂l₂+…+α_nl_n (1)

a= β₁l₁+β₂l₂+…+β_nl_n (2)

(1)-(2)=0 => (α₁-β₁)l₁+(α₂-β₂)l₂+…+(α_n-β_n)l_n =0

т.к. l₁,l₂,…,l_n-базис, то из равенства =>, что α₁=β₁, α₂=β₂ ,…,α_n=β_n

Билет N 7

Векторы (далее векторы выделены жирным шрифтом)

Вектором называется направленный отрезок, т.е. для него указаны начальная и конечная точки.

Длина- расстояние от A до B. │AB│

Если даны два вектора a и b, то они коллинеарны (a параллелен b), если эти вектора лежат на одной, или на параллельных прямых.

Они равны (a=b), если они коллинеарны, длинны их равны и соноправлены.

Действия над векторами

1) Сложение Сумма (a+b) - это вектор c, начало которого совпадает с началом a, а конец с концом b,при условии, что начало b совпадает с концом a.

2) умножение на число. a, λ Произведение λ*a называется вектор, длина которого в │λ│ раз больше длины a. Этот вектор параллелен a. λ*a;a- соноправлены, если λ>0

λ*a;a- противоположно направлены, если

λ<0