Міністерство освіти і науки України
Бердичівський коледж промисловості, економіки та права
Волошина З. П.
Методична розробка
з дисципліни « Вища математика»
на тему: «Диференціальні рівняння»
для студентів другого курсу спеціальності 5.05050302
« Технологія обробки матеріалів на верстатах і
автоматичних лініях»
Бердичів 2010
Автор-укладач З.П. Волошина
Методична розробка з дисципліни « Вища математика» на тему: « Диференціальні рівняння»
У даній методичній розробці викладено, на доступному рівні, в логічній послідовності, матеріал щодо вивчення диференціальних рівнянь.
В розробці подано загальні відомості про диференціальні рівняння: задачі, що приводять до дифрівнянь, порядок, частинний і загальний розв'язки диференціального рівняння, задачу Коші; матеріал про рівняння з відокремленими змінними і рівняння із змінними, що відокремлюються; розглянуто однорідні рівняння та лінійні рівняння першого порядку.
До кожного типу диференціальних рівнянь наведено приклади розв’язування, з детальними кроками розв'язку.
В кінці розробки вказано використану літературу.
Розробка розрахована для студентів другого курсу спеціальності «Технологія обробки матеріалів на верстатах і автоматичних лініях» та студентів заочного відділення.
Розглянуто на засіданні циклової комісії
фізико-хіміко-математичних дисциплін
Протокол № від 2010р.
Голова циклової комісії:
О.О.Горленко.
Диференціальне рівняння кривої, яка в кожній точці має задану дотичну
Нехай G – деяка множина точок М площини, на якій введена прямокутна система координат, і нехай х, у – координати точок М. Так як між точками площини і парами чисел (х;у) є взаємно однозначну відповідність, тоді говорять, що G множина точок (х;у).
Якщо кожній точці (х;у) з множини G ставиться у відповідність деяке дійсне число f(x;y), тоді f називається функцією точки (х;у) або функцією двох змінних х, у, яка визначена на множині G і позначається f(x;y), (x;y) G.
Розглянемо тепер наступну задачу.
Знайти рівняння кривої, яка в кожній своїй точці з координатами х, у має дотичну з заданим кутовим коефіцієнтом .
Іншими словами, потрібно знайти функцію , яка задовольняє рівнянню
(1)
де - похідна по х від шуканої функції.
Це рівняння називається диференціальним рівнянням,
функція φ(х) – його розв'язком ,
а крива, задана рівнянням - інтегральною кривою.
Розглянемо один випадок.
Нехай функція f залежить тільки від х і визначена на деякому інтервалі(а;b). Рівняння
(2)
розв'язується в теорії невизначених інтегралів. Було показано, що всі розв'язки цього рівняння задаються формулою
Ця формула містить неявно довільну сталу С.
Дійсно, якщо F(x) – деяка первісна функції f(x), то
(3)
Таким чином, рівняння (2) має нескінченну множину розв'язків . Будь-яка крива, задана рівнянням (3) при фіксованому С, являється розв’язком поставленої задачі.
З теорії визначених інтегралів відомо, що у будь-якої неперервної функції f(x) є деяка первісна і цією первісною являється інтеграл із змінною верхньою межею. Звідси
.
Крива,що задана цим рівнянням, проходить через точку з координатами х0, С. Звідси, через кожну точку (х0;у0), де х0 (а;b), проходить єдина інтегральна крива
Загальні поняття та означення
Означення: Рівняння, що містить незалежну змінну, функцію, її похідні або диференціали називається диференціальним рівнянням.
Наприклад, x dy=2y dx або у' = 4х , ,
Означення: Найвищий порядок похідної, що входить в рівняння називається порядком рівняння.
Означення: Розв'язком диференціального рівняння називається функція при підстановці якої в рівняння воно перетворюється в правильну рівність.
Означення: Рівняння, які мають похідні або диференціали не вище першого порядку, називаються диференціальним рівнянням першого порядку.
Розв'язки бувають загальний і частинний.
Означення: Розв'язок диференціального рівняння в якому кількість сталих дорівнює порядку рівняння називається загальним розв'язком диференціального рівняння.
Означення: Розв'язок диференціального рівняння при конкретних значеннях сталих називається частинним розв'язком диференціального рівняння.
Означення: Задача на знаходження частинного розв'язку, що задовольняє початковим умовам, називається задачею Коші.
Диференціальні рівняння мають велике використання в геометрії, механіці, фізиці та інших дисциплінах, а також в техніці.
Задачі, що приводять до диференціального рівняння
Скласти рівняння кривої, що проходить через точку М(-1;4), якщо кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної в будь якій точці, дорівнює
Розв'язок
Виходячи з геометричного змісту похідної
За умовою ,
підставимо в рівняння і одержимо
.
Це рівняння називається диференціальним. Розв'яжемо його:
Розпишемо похідну, як відношення диференціалів
, домножимо рівність на , одержимо
Знайдемо інтеграл від лівої і правої частини рівняння:
- загальний розв'язок.
Розв'яжемо задачу Коші.
Так як за умовою крива проходить через точку М(-1;4) , то .
Підставимо в загальний розв'язок і та знайдемо значення сталої С
- частинний розв'язок.
Отже, рівняння кривої, що проходить через точку М(-1;4) має вигляд
Відповідь: рівняння кривої .