Centralne twierdzenie graniczne

I jego znaczenie w analizach statystycznych

20. Prawo wielkich liczb, jak wynika z rozważań prowadzonych wyżej, stanowi podstawę teoretyczną metody reprezen­stacyjnej i analiz statystycznych. Można z niego bowiem wyciągnąć bardzo ważny wniosek praktyczny, że o parametrach zbiorowości generalnej (populacji) można wnioskować na podstawie z badania tylko części tej zbioro­wości wylosowanej z całej populacji. Jeżeli próbka będzie dostatecznie liczna, to precyzja takiego wnioskowani może być dowolnie wysoka (tzn. błędy mogą być dowolnie małe), przy czym prawdopodobieństwo słuszności takiego wnioskowania, zwane poziomem ufności, może być odpowiednio zbliżone do pewności. Jednakże tak sformułowane samo prawo wielkich liczb nie rozwiązuje jeszcze podstawowych problemów metody reprezentacyjnej. Na przykład nie można odpowiedzieć w jaki sposób określić minimalną liczebność próbki, aby zapewnić żądaną precyzję oszacowań przy zadanym poziomie ufności; jak obliczyć prawdopodobieństwo słuszności wypowiadanych sądów (poziomu ufności); w jaki sposób oszacować precyzję badanych parametrów po przeprowa­dzeniu badania. Do rozwiązania tych problemów wykorzystano, po odpowiednim przystoso­waniu, różne twierdzenia graniczne rachunku prawdopodobieństwa, a szczególną rolę odgrywa tu centralne twierdzenie graniczne, któremu głównie poświęcimy dalszą uwagę.

21. Na wstępie należy zaznaczyć, że popularyzacja większości problemów rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej jest sprawą dość trudną, szczególnie jeśli chodzi o współczesne osiągnięcia w tych dziedzinach, które opierają się na bardzo złożonym aparacie matematycznym. Dotyczy to przede wszystkim twierdzeń granicznych rachunku prawdopodobieństwa, którym w ostatnich latach poświęcono wiele uwagi. Dlatego pragniemy przedstawić tu tylko istotę problemu, ukazanie jego sensu i znaczenia dla rozwiązywania konkretnych problemów analiz statystycznych.

22. Teoria rozkładów granicznych stanowi jeden z większych i ważniejszych działów rachunku prawdopodobieństwa, który rozwinął się szczególnie szybko na przestrzeni ostatnich pięćdziesięciu lat, jakkolwiek niektóre twierdzenia z tego zakresu zostały udowodnione jeszcze w XVIII i XIX wieku. Jako pionierów prac badawczych w tej dziedzinie należy wymienić A. de Moivre'a, C.F. Gaussa i A. Laplace'a, odkrywców rozkładu normalnego, który w twierdzeniach granicznych odgrywa podstawową rolę. Dalsze prace szeregu wybitnych matematyków i statystyków, a przede wszystkim pracę Levye'go, Lindenberga, Lapunowa, Fellera i Chinczyna, doprowadziły do pełnego rozwiązania tego zagadnienia. Sformułowano i udowodniono kilka ważnych twierdzeń, podając warunki, które muszą być spełnione, aby zmienna losowa miała rozkład normalny lub zbieżny do rozkładu normalnego.

23. Twierdzenia te, zwane nazwiskami autorów, znane są w rachunku prawdopodobieństwa pod wspólną nazwą centralnego twierdzenia granicznego. Nazwa ta podkreśla doniosłą rolę, jaką twierdzenie to odgrywa w rachunku prawdopodobieństwa i statystyce matematycznej.

24. Główną ideę centralnego twierdzenia granicznego można sformułować następująco:

Jeżeli zmienne losowe X₁, X₂,...,X_n, są niezależne i żadna z nich nie przyjmuje zbyt dużych wartości, to suma zmiennych losowych X₁+X₂+...+X_n (i przeciętna wartość tych zmiennych) ma rozkład normalny lub zbliżony do rozkładu normalnego, gdy liczba zmiennych jest odpowiednio duża.

25. Z powyższego twierdzenia można wyciągnąć wniosek, że średnie z próbek losowych będą miały w przybliżeniu rozkład normalny, o ile tylko próbki będą dostatecznie liczne i to nawet w tym przypadku, gdy rozkład w populacji, z którego losowano próbki, nie jest normalny. Jeśli z populacji pobieramy pewną liczbę próbek losowych, to wartości średnie tych próbek będą wahały się w granicach wokół średniej z populacji. I tak jeśli zmienna losowa X ma pewien rozkład o średniej m i odchyleniu standardowym σ, wtedy średnia z próbki , obliczona z losowej próbki o liczebności n, będzie miała w przybliżeniu rozkład normalny o średniej i odchyleniu standardowym , gdy n jest dostatecznie duże.

26. Stwierdziliśmy, że liczebność próbki musi być dostatecznie duża, aby można było korzystać z centralnego twierdzenia graniczne­go. Powstaje więc pytanie, kiedy liczebność próbki uznać za dostatecznie dużą, aby można było twierdzić, że rozkład średnich z tej próbki można opisać przy pomocy rozkładu normalnego. Zagadnienia te zostaną przedstawione dalej.