Глава 2. Электрические цепи при гармоническом воздействии.

§1. Основные понятия линейных цепей. Среднее и действующее значение синусоидального тока.

В электро- и радиотехнике широкое применение получили изменяющиеся во времени переменные токи. Формы переменных токов разнообразны. Например, ток может изменяться по экспоненциальной кривой, трапециевидной, пилообразной кривым (рис. 1а,б,в), а также закон изменения тока может описываться синусоидой (рис. 1г).

а б в г

Рис. 1. Временные характеристики переменных токов.

В электронике нашли ши­рокое применение синусоидальные токи. Достоинство синусоидальных токов по сравнению с другими токами: возможность наиболее экономично осуществлять производство, передачу и распределение электрической энергии. Синусоида - единственная периодическая функция, имеющая по­добную себе производную. Только при помощи синусоидальных токов можно сохранить неизменными формы кривых напряжений и токов во всех участках сложной линейной электрической цепи. Это свойство синусоидальных токов позволяет относительно просто производить расчет цепей переменного тока.

За основу измерения переменного тока положено сопоставление его среднего теплового действия с тепловым действием постоянного тока. Определенное посредством такого сравнения значение силы тока называется действующим значением. Иначе говоря, действующее значение переменного тока равняется такому постоянному току, который за время, равное периоду, выделяет в каком-либо сопротивлении такое же количество тепла, что и данный переменный ток:

Из этого уравнения получают действующее значение тока:

Для синусоидального тока нетрудно определить его действующее значение через амплитудное:

Аналогично выражаются через амплитуды действующие значения напряжения и э. д. с.

Действующие значения обозначаются большой (заглавной) буквой без подстрочных индексов.

Электроизмерительные приборы тепловой, электромагнитной и элек­тродинамической систем имеют подвижные части, отклонения которых пропорциональны среднеквадратичным значениям измеряемых ими величин. Поэтому эти приборы измеряют действующие значение периодических токов и напряжений.

Под средним значением периодической функции понимают ее среднее значение за период. Если функция изменяется по гармоническому закону, то ее среднее значение за период равно нулю. Поэтому, когда говорят о среднем значении переменного тока, напряжения или э. д. с. то под ним подразумевается среднее значение за половину периода. Например, среднее значение переменной э. д. с. равно:

Если э. д. с. изменяется по синусоидальному закону

т о ее среднее значение:

Аналогично выражаются через свои амплитуды и средние значения напряжения и тока .

§2. Гармонические колебания. Изображение синусоидальных токов векторами и комплексными числами.

Гармонические колебания используются в радиовещании, в устройствах связи, в источниках питания, в модемах и т. д. Промышленное напряжение изменяется с частотой 50 Гц. Частоты порядка сотен и тысяч герц применяются в телефонных цепях, самые высокие частоты используются в радиоэлектронике: от 10⁵ и 10⁹ Гц.

Синусоида – единственная периодическая функция, имеющая подобную себе производную. Только при помощи синусоидальных токов можно сохранить неизменными формы кривых напряжений и токов во всех участках сложенной линейной электрической цепи. Это свойство синусоидальных токов позволит относительно просто производить расчет цепей переменного тока.

Гармонические колебание можно записать уравнениями с тригонометри­ческими функциями, изобразить графически или представить в виде векторов на декартовой или комплексной плоскости.

Пусть ток и напряжения изменяются по гармоническому закону:

,

Значения аргументов синусоидальных функций и называются фазами синусоид. Значение фазы в начальный момент времени и называют начальной фазой.

Д ля расчёта электрических цепей аналитическое задание функции неудобно, так как алгебраические действия с тригонометрическими функциями громоздки.

Графическое представление синусоидальных величин (рис. 2) наглядно.

На графиках положительная начальная фаза отчитывается влево от начала ординат, а отрицательная - вправо. Если у нескольких гармонических величин, изменяющихся с одинаковой частотой, начала синусоид не совпадают по времени, то они сдвинуты друг относительно друга по фазе. Разность углов , равная разности начальных фаз, называется углом сдвига фаз. Угол сдвига фаз одноименных функций обозначают буквой , а равноименных .

_.

Г рафическое представление синусоидальных величин из-за сложности построения синусоид применяют сравнительно редко. Изобразить гармонические величины можно векторами на декартовой плоскости (рис. 3). Совокупность векторов, изображающих синусоидальные э. д. с., напряжения и тока одной частоты, в соответствии со значениями их амплитуд и фазовых углов называют векторными диаграммами. Построение векторных диаграмм рационально начинать для начального момента времени t=0. В этом случае положение вектора определяется начальной фазой. На рис. 3 показаны векторные диаграммы напряжения и тока, изображенных синусоидами на рис. 2.

П рименение векторных диаграмм делает анализ электрической цепи наглядным. В этом методе сложение и вычитание мгновенных значений величин можно заменить сложением и вычитанием их векторов.

Расчёт цепей переменного тока облегчается, если изображать синусоидально изменяющиеся токи, напряжения, э. д. с. и т. д. комплексными числами. На комплексной плоскости ось абсцисс плоскости декартовых координат совмещают с осью вещественных или действительных значений (ось +1) комплексной плоскости. Ось ординат совмещают с осью мнимых чисел и величин (ось + ). (В электронике мнимую единицу обозначают ).

К аждому вектору на комплексной плоскости соответствует определенное компле­ксное число, которое может быть записано в алгебраической, тригонометрической и показательной форме. Например, току , соответствует комплексное число записанные в алгебраической форме:

.

В тригонометрической форме: _. Используя подстановку Эйлера , можно получить показательную форму записи .

Фазовый угол определяется по проекциям вектора на оси координат +1 и +j:

Модуль комплексной амплитуды тока находится по формуле:

Мнимая составляющая комплексного числа вектора на комплексной плоскости определяет синусоидальное изменение сигнала и обозначается символом Im (Imagine – воображаемый), например,

.

Действительная составляющая определяет косинусоидальное изменение сигнала и обозначается символом Re (Real – действительный)

.

Комплексные величины , называются комплексными амплитудами гармонического сигнала, которые содержат информацию об амплитуде и начальной фазе.

Символический метод применяется для расчета. Он дает возможность выразить в алгебраической форме геометрические операции с векторами переменного тока, благодаря чему является возможным применять все методы расчета цепей постоянного тока для цепей переменного тока.