Метод зон Френеля, объяснение прямолинейного распространения света.

Для отыскания интенсивности (амплитуды) результирующей волны нужно, согласно Френелю, окружить источник L поверхностью S любой формы. Значение интенсивности (амплитуды) в любой точке В за пределами S может быть получено так: устраним L, а поверхность S будем рассматривать как светящуюся поверхность. Разобьем поверхность S элементы поверхности dS. Излучение каждого элемента dS надо представлять себе как сферическую волну (вторичная волна), которая приносит в точку В, колебание

(1)

где а₀ – определяется амплитудой колебания, φ – фаза колебания, дошедшего от L до элемента dS. При этом, размеры dS берутся настолько малыми, чтобы φ и r для любой его части можно было бы считать одинаковыми. Это означает, что каждый элемент dS можно считать как некоторый вспомогательный источник, так что амплитуда а₀ пропорциональна площади dS. Фазы этих источников строго согласованы между собой, так как идут от одного источника L, и, следовательно, являются когерентными (т.е. разность фаз между колебаниями не изменяются в течение наблюдаемого времени). Поэтому вторичные волны будут интерферировать между собой. Результирующее колебание в точке наблюдения будет представлять собой суперпозицию волн (1), взятых от всей волновой поверхности S.

В случаях, отличающихся симметрией, нахождение амплитуды результирующего колебания может быть осуществлено простым алгебраическим или геометрическим суммированием. Определим амплитуду светового колебания, возбуждаемого в точке В сферической волной, распространяющейся в изотропной однородной среде из точечного источника S (рис.3). Волновые поверхности такой волны симметричны относительно прямой SB. Воспользовавшись этим, разобьем изображенную на рисунке волновую поверхность на кольцевые зоны, построенные так, что расстояние от краев каждой зоны до точки В отличаются на λ/2 (λ – δлина волны в той среде, в которой распространяется волна). Обладающие таким свойством зоны называют зонами Френеля. Расстояние от b_m от m-й зоны до точки В равно

(2)

 

(b – расстояние от вершины волновой поверхности О до точки В).

Колебания, приходящие в точку В от аналогичных точек двух соседних зон (т.е. точек, лежащих в середине зон или у внешних краев зон и т.д.), находятся в противофазе. Поэтому и результирующие колебания, создаваемые каждой из зон в целом, будут для соседних зон отличаться по фазе на π. Из несложных расчетов следует, что площадь от m-й зоны при не слишком больших m равен:

(3)

и не зависит от m. Радиус зон определяется выражением:

(4)

Амплитуда колебания идущая от m-ой зоны в рассматриваемой точке монотонно убывает с ростом m. Фазы колебаний, возбуждаемые соседними зонами, отличаются на π. Поэтому амплитуда А результирующего колебания в точке В может быть представлена в виде:

А = А₁ – А₂ +А₃ – А₄ + … (5)

Запишем это выражение в виде:

А = А₁/2 + (A₁/2 – A₂ + A₃) + ( A₃/2 – A₄ + A₅/2) + … (6)

Вследствие монотонного убывания приближенно

А_m = (A_m-1 + A_{m + 1})/2 (7)

Тогда выражения в скобках формулы (6) будут равны нулю и

А=А₁/2 (8)

Согласно формуле (8) амплитуда, создаваемая в некоторой точке В всей сферической волновой поверхностью, равна половине амплитуды, создаваемой лишь одной центральной зоной. Если на пути световой волны поставить непрозрачный экран с отверстием, оставляющим только центральную зону Френеля, амплитуда в точке В будет в два раза больше, чем от всей световой волны и будет равна А₁.

Зонная пластинка Френеля, фазовая зонная пластинка.

Дифракция Френеля от простейших преград.

Дифракция от круглого отверстия. Поставим на пути сферической световой волны непрозрачный экран с вырезанным в нем круглым отверстием радиуса R так, чтобы перпендикуляр, опущенный из источника S, попал в центр отверстия. На продолжении этого отверстия возьмем точку В. При R<<a, b (см. рис. 3) и если они удовлетворяют соотношению

(9)

 

где m – целое число, то отверстие оставит открытым ровно m первых зон Френеля (см. формулу (4)). Следовательно число открытых зон Френеля определяется выражением

(10)

 

В соответствии с формулой (5) амплитуда в точке В:

А = А₁ – А₂ +А₃ – А₄ + … ± А_m. (11)

Перед А_m берется знак плюс, если m - нечетное, и минус, если m – четное. Представив выражение (11) в виде (6) придем к соотношениям:

А = A₁/2 + A_m/2 (m – четное),

А = A₁/2 + A_m-1/2 – А_m (m – нечетное).

В последнем выражении амплитуды от соседних зон практически одинаковы. Поэтому A_m-1/2 - А_m можно заменить через - A_m/2. Тогда получим:

А= A₁/2 ± A_m/2, (12)

где знак плюс берется для нечетных и минус для четных.

В зависимости от того открыто четное или нечетное количество зон Френеля в точке В будет изменяться освещенность. При открытии нечетного количества зон будет наблюдаться максимум. При увеличении радиуса отверстия или смещении экрана с отверстием так, чтобы начала открываться четная зона Френеля максимум интенсивности будет уменьшаться и при некотором значении достигнет минимума. Освещенность же в разных точках экрана также будет определяться четностью или нечетностью количества открытых зон Френеля, образуя чередующиеся темные и светлые концентрические кольца. При перемещении экрана параллельно самому себе эти кольца попеременно меняют друг друга (см. рис.4). Если отверстие открывает лишь часть первой зоны, на экране получается размытое светлое пятно; чередования светлых и темных колец в этом случае не наблюдается. Если отверстие открывает слишком большое количество зон, чередование светлых и темных колец наблюдается лишь в очень узкой на границе геометрической тени.

 

Дифракция от круглого диска. Если непрозрачный круглый диск радиуса R, помещенный между источником света S и точкой наблюдения В (рис.4), закрывает m первых зон Френеля, амплитуда в точке В равна:

А=А_m+1 - A_m+2 + A_m+3 - …= А_m+1/2 + (А_m+1/2 - А_m+2 + А_m+3/2) + …

Выражения в скобках можно приближенно взять равным нулю. Тогда

А = А_m+1/2 (13)

В данном случае закрытый диском участок волновой поверхности исключается из рассмотрения и открытые зоны Френеля строят, как это показано на рисунке, начиная от краев диска. Повторяя рассуждения, приведенные для случая дифракции от круглого отверстия, получаем, что амплитуда результирующего колебания, возбуждаемого в точке В всеми открытыми зонами Френеля, равна половине амплитуды, обусловленной первой открытой зоной Френеля. Следовательно, в точке В всегда наблюдается максимум (светлое пятно, называемое пятном Пуассона), соответствующее половине действия первой открытой зоны Френеля. При увеличении диаметра диска первая открытая зона Френеля удаляется от точки В и яркость пятна Пуассона уменьшается. при больших размерах диска за ним наблюдается тень, вблизи границ которой наблюдается весьма слабая дифракционная картина.