Лабораторная работа №7 Явление резонанса в колебательном контуре
Цель работы: изучение зависимости тока в колебательном контуре от частоты источника ЭДС, включенного в контур, и измерение резонансной частоты контура.
В ведение
Рассмотрим процессы, протекающие в колебательном контуре, подключенном к источнику, ЭДС которого изменяется по гармоническому закону:
, (11.1)
где U – напряжение на контуре емкостью C; I – ток в контуре.
Полагаем, что мгновенные значения токов и напряжений удовлетворяют законам, установленным для цепей постоянного тока. Такие токи называются квазистационарными. В любой момент времени сумма падений напряжения на элементах цепи равны ЭДС (рис11.1):
. (11.2)
Падение напряжения на катушке индуктивностью L
, (11.3)
ток в катушке и контуре
. (11.4)
Подстановка (11.3) и (11.4) в (11.2) дает
. (11.5)
Разделим это уравнение на LC и введем обозначения:
; .
Обозначая дифференцирование по времени точкой, получим дифференциальное уравнение
. (11.6)
Его решение дает закон изменения напряжения на конденсаторе с течением времени и равно сумме полного решения однородного уравнения (11.7) и частного решения уравнения (11.6):
(11.7)
Однородное уравнение (11.7) имеет решение
, (11.8)
являющееся уравнением затухающих колебаний. Затухание определяется членом е-βt. За время амплитуда колебаний уменьшается в е раз. Затухание в колебательном контуре связано с превращением энергии колебаний в джоулево тепло в сопротивлении R. При составляющая U1 решения уравнения (11.6) исчезнет, следовательно, она отражает переходный процесс, определенный начальными условиями и параметрами контура. Установившиеся колебания в цепи происходят с частотой Ω и возможным сдвигом по фазе. Поэтому решение ищут в виде
, (11.9)
где U0 и φ подлежат определению.
Подстановка (11.9) в (11.6) дает:
; (11.10)
. (11.11)
Таким образом, амплитуда и фаза напряжения на конденсаторе зависят от соотношения частоты источника ЭДС Ω и частоты ω0.
Ток в контуре , где . Амплитуда тока в контуре также зависит от соотношения частот Ω и :
(11.12)
График зависимости от представлена на рисунке 11.2.
И з графика видно, что амплитуда тока резко возрастает при приближении циклической частоты Ω источника ЭДС к частоте . Это явление называется резонансом, а кривые – резонансными кривыми. Величина максимума зависит от β: при β=0 (кривая 3); при увеличении β максимальное значение уменьшается (кривые 2 и 1), определяет разность фаз колебаний тока в контуре и внешней ЭДС:
(11.13)
график зависимости от частоты представлена на рисунке 11.3.
Кривые 1 и 2 соответствуют разным значениям β. При и .
Величина , где , называется добротностью колебательного контура. Добротность контура связана с остротой резонансных кривых. Найдем ширину резонансной кривой на высоте (рис. 11.4).
.
Из формулы (11.12) следует, что максимальное значение силы тока
а,
(11.14)
При формула (11.14) запишется
(11.15)
Выражение (11.15) можно преобразовать к виду или . Величина , а вблизи резонанса . После подстановки получим :
(11.16)
При малом затухании и относительная ширина резонансной кривой численно равна величине обратной добротности контура.
Если известны параметры контура, добротность может быть рассчитана по соотношению
. (11.16а)