Лабораторная работа №8 Сложение однонаправленных и взаимно перпендикулярных колебаний

Цель работы: изучение обмена энергией в системе электрических контуров, слабо связанных между собой.

Введение

Колебательные процессы (осцилляции) в электрических контурах имеют аналогии в механике. Поведение простейшего осциллятора – одиночного маятника, представляющего собой массу, подвешенную на длинном стержне, хорошо изучено: это гармонические колебания с частотой .

С ущественно более сложную структуру при колебаниях представляет собой система двух маятников, связанных между собой связанной пружиной, как это показано на рис. 13.1. Маятники будут участвовать в коллективных колебаниях, амплитудно-частотная характеристика которых зависит от фазы смещения маятников относительно друг друга (относительная фаза).

Если оба маятника имеют вначале при (t=0) равные смещения, то они будут колебаться как единое целое с постоянной амплитудой и частотой, равными частоте и амплитуде колебаний одиночного маятника . Если при t=0 имеются равные и противоположные амплитуды, то маятники будут колебаться с постоянной амплитудой, но с некоторой другой, слегка повышенной по отношению к , частотой . Эти два вида движения называются нормальными модами колебаний системы связанных осцилляторов, причем вид колебаний с частотой называют четной модой нормальных колебаний и обозначают знаком «+» , а вид колебаний с повышенной частотой называют нечетной модой нормальных колебаний и обозначают знаком «-» .Нормальная мода колебаний – это коллективное колебание, при которой амплитуда колебаний каждой движущейся частицы системы остается неизменной. В более сложных случаях, когда при t=0, имеется относительный сдвиг фаз, результирующее движение можно рассматривать как комбинацию (суперпозицию) двух нормальных мод колебаний, как амплитудно-моделированное колебание. С суперпозицией гармонических колебаний разных частот приходится встречаться в самых разнообразных явлениях. Примером могут служить не только маятники, но и два звучащих камертона с разными собственными частотами, причем наиболее интенсивным образом проявляется «смеховая» природа коллективных колебаний, когда частоты колебаний камертонов отличаются мало друг от друга. В этом случае человеческое ухо наиболее явственно воспринимает результирующее колебание как гармоническое колебание с переменной амплитудой, т.е. ухо слышит музыкальный тон, интенсивность которого периодически меняется с частотой и периодом . Такой вид суперпозиции гармонических колебаний (при , но и ) иллюстрирует рис. 13.2. Само это явление называется биениями, а величины и - периодом и частотой биений соответственно.

В системе двух связанных слабой пружиной маятников биения могут установиться, если сместить один из них (например, маятник 1, слева рис. 13.1), удерживая другой на месте, а затем отпустить их одновременно. В этом случае маятник 1 начинает колебаться один, но с течением времени колебания маятника 2 будут постоянно нарастать, а колебания маятника 1 – затухать. Через некоторое время маятник 2 испытывает сильные колебания, а маятник 1 останавливается. В случае четной моды нормальных колебаний, маятники движутся вместе, пружина не растянута и частота такая же, как у одиночного маятника. В случае нечетной моды колебаний пружина не растянута, что увеличивает частоту колебаний этой моды. Если в какой-то момент времени смещен только один из маятников, то возникают две нормальные моды колебаний, находящиеся в определенной относительной фазе. Но поскольку частота нечетного колебания немного выше частоты четного колебания, относительная фаза изменяется в процессе коллективного колебания. Амплитуда колебаний первого маятника равна нулю, а амплитуда второго достигает максимума, когда два нормальных вида колебаний окажутся в противофазе, затем начнется увеличение амплитуды первого маятника и т.д.

Поведение связанных осцилляторов легко объяснить с энергетической точки зрения: при t=0 вся энергия сосредоточена в маятнике 1. В результате связи через пружину энергия постепенно передается от маятника 1 к маятнику 2 до тех пор, пока вся энергия не скопится в маятнике 2, затем, конечно, если система осцилляторов подпитывается из вне энергией для компенсации затухания из-за трения и т.д., Таким образом, «биения» - процесс обмена энергией между двумя гармоническими осцилляторами, собственные частоты которых различаются мало, а при t=0 наблюдается относительный сдвиг фаз.

Б иения можно наблюдать и в электрической системе – в двух одинаковых LC контурах, связанных собой слабой емкостной связью - аналог механической связи в виде пружины. Колебания в контурах (рис. 13.3) возбуждаются с помощью преобразователя импульсов (ПИ).

Для теоретических расчетов рассмотрим упрощенный вариант этой схемы (рис. 13.4), где обозначены знаки зарядов в контурах и положительное направление тока: ; . Причем для наблюдения биений важно, чтобы были сонаправлены. Для двух контуров, соединенных по схеме рис. 13.4, можно записать два уравнения, описывающих колебания зарядов Q в контурах.

Подставляя , , получаем:

Получились довольно сложные уравнения для двух переменных. Можно упростить ситуацию, написав новые уравнения, полученные сложением и вычитанием уравнений (13.3) и (13.4).

Сложив эти уравнения, получаем

(13.5)

Разность (3) и (4) имеет вид

(13.6)

С помощью проведенных математических операций удалось уравнения (13.3) и (13.4) записать через переменные и . Если при t=0 переменная имеет значение , то решения уравнения (13.5) имеет вид

= , (13.7)

частота равна частоте собственных колебаний отдельного контура. Аналогично, решение уравнения (13.6) приобретает вид

= , (13.8)

где ; - значения при t=0 переменной .

Два вида движения, описываемые уравнениями типа (13.7) и (13.8), называются нормальными модами колебательной системы связанных осцилляторов. В данном случае они описывают колебания тока в системе двух связанных электрических контуров. Нормальная мода колебаний – это коллективное колебание тока, при котором амплитуда колебаний каждого заряда остается неизменной.

Если сместить из положения равновесия один из контуров, то результирующим колебанием явится колебание двух нормальных мод колебаний. При из (13.7) и (13.8) получаем:

; (13.9)

. (13.10)

Используя известные тригонометрические тождества:

. (13.11)

, (13.12)

можно записать уравнения 13.9 и 13.10 в виде:

; (13.13)

. (13.14)

Графики и (уравнения 13.13 и 13.14) показаны на рис. 13.2. Обратите внимание, что при t=0 амплитуда равна нулю. Амплитуда увеличивается, а амплитуда падает до тех пор, пока в момент времени, определенный из отношения , амплитуда не станет равной нулю, а амплитуда достигнет максимума.

Ситуацию, показанную на рис. 13.2, можно рассмотреть с энергетической точки зрения.

При t=0 вся энергия сосредоточена в контуре 1. В результате связи через емкость энергия постоянно передается от контура 1 к контуру 2 до тех пор, пока вся энергия не соберется в контуре 2.Время, необходимое для перехода энергии из контура 1 в контур 2 и обратно, можно получить из уравнения , а частота, с которой контуры обмениваются энергией

. (13.15)

Для нечетной моды колебаний, обозначенной знаком «+», токи текут в одинаковом направлении, когда на емкости нет заряда. При этом частота остается такой же, как для несвязанных контуров, т.е. . В случае нечетной моды нормальных колебаний (знак «-»), емкость заряжена, что увеличивает частоту колебаний, т.е. .

Следует отметить, что для того чтобы применить к связанным контурам рассмотренную выше теорию, они должны иметь одинаковую резонансную частоту , и, кроме того, предполагается, что велика по сравнению с C, т.е. («слабая связь»). Тогда выражение (13.15) можно преобразовать следующим образом:

.(13.16)

Полученное значение частоты обмена (имеется в виду обмен энергией), или частоты «биений» можно изменять, настраивая систему контуров путем изменения номиналов радиоэлементов , , , и т.д., добиваясь того, чтобы разностная частота была сведена к минимуму.

Исследование биений, т.е. обмена энергией в связанных контурах, и является одной из практических задач данной работы.