ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

“МОРДОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Н.П. ОГАРЁВА”

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

ПРОГРАММА

ГОСУДАРСТВЕННОГО ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ

ПО СПЕЦИАЛЬНОСТИ

010501. 65 – ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА

САРАНСК 2012

РАЗДЕЛ "ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА".

1. Функции булевой алгебры, и их реализация формулами СДНФ и СКНФ.

2. Замкнутые классы. Критерий полноты.

3. Оценки сложности ДНФ. Сокращенные, тупиковые, минимальные дизъюктивные нормальные формы, и алгоритмы их построения.

4. Графы. Матричное представление графов. Остов минимального веса и алгоритмы их нахождения.

5. Сети и потоки в сетях. Теорема Форда-Фалкерсона.

6. Алфавитное кодирование. Алгоритмы построения оптимальных кодов и близких к оптимальным кодам. Самокорректирующиеся коды.

7. Формализация понятия алгоритма. Машина Тьюринга. Алгоритмическая неразрешимость.

РАЗДЕЛ "ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ".

1. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности.

2. Приемы интегрирования простейших дифференциальных уравнений первого порядка.

3. Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Структура общего решения.

4. Метод вариации постоянных.

5. Устойчивость решений по Ляпунову. Примеры.

6. Устойчивость решений линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

РАЗДЕЛ "МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ".

1. Постановка основной задачи оптимального управления. Пример.

2. Изопериметрические задачи. Метод множителей Лагранжа.

3. Задача синтеза оптимального управления. Пример.

4. Теорема Куна-Таккера.

5. Задача оптимального быстродействия. Принцип максимума Понтрягина.

6. Задачи вариационного исчисления. Необходимые условия экстремума в простейшей задаче вариационного исчисления с подвижными концами.

7. Сильный экстремум. Необходимое условие Вейерштрасса.

8. Вариационный принцип Гамильтона.

РАЗДЕЛ "ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА"

1. Одномерные случайные величины. Функции распределения. Числовые характеристики случайных величин. Нормальный закон.

2. Многомерные случайные величины. Функции распределения. Числовые характеристики систем случайных величин. Ковариация случайных величин и коэффициент корреляции.

3. Неравенство Чебышева, закон больших чисел и предельные теоремы для сумм независимых случайных величин.

4. Основные понятия математической статистики и выборочные характеристики. Оценка математического ожидания, дисперсии, вероятности.

5. Марковский случайный процесс.

6. Винеровский процесс.

РАЗДЕЛ "МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ".

1. Методы аппроксимации и вычисления функций.

2. Численные методы решения задач линейной алгебры (методы решения линейных систем, способы отыскания собственных значений).

3. Сеточные методы решений уравнений в частных производных. Понятие аппроксимации, сходимости, устойчивости.

4. Проблема собственных значений. Нахождение наибольшего по модулю собственного значения. Итерационный метод вращений.

5. Численное интегрирование. Формулы Ньютона-Котеса, частные случаи.

6. Квадратурная формула типа Гаусса. Метод Рунге.

7. Одношаговые и многошаговые методы решения задачи Коши. Схемы Эйлера, Рунге-Кутта, Адамса.

8. Решение нелинейных уравнений (методы Ньютона, простой итерации, сопряженных градиентов).

9. Разностные схемы для эллиптических уравнений. Устойчивость и сходимость задачи Дирихле.

10. Классы устойчивых двухслойных и трехслойных схем для уравнений математической физики.

РАЗДЕЛ "УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ"

1. Канонический вид дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка.

2. Задача о малых поперечных колебаниях струны. Начальные и граничные условия.

3. Задача малых поперечных колебаний упругой мембраны. Колебания объемного континуума. Начальные и граничные условия.

4. Формула Пуассона.

5. Формула Даламбера.

6. Метод разделения переменных в задачах математической физики. Метод Фурье для уравнения колебаний струны.

7. Задача о распространении тепла в произвольной области. Начальные и граничные условия.

8. Моделирование электростатического плоского поля.

9. Потенциальная энергия мембраны в положение равновесия с прогибом.

РАЗДЕЛ "МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ"

1. Свойства функций, непрерывных в точке. Непрерывность Элементарных функций.

2. Свойства функций, непрерывных на промежутке. Теоремы Вейерштрасса, Больцано-Коши, Кантора.

3. Дифференцирование функций одной и многих переменных. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функций одной и многих переменных.

4. Свойства функций, дифференцируемых на промежутке. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши.

5. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, Лагранжа, Коши.

6. Неявные функции. Теорема существования и дифференцируемости.

7. Определение интеграла по Риману. Критерий интегрируемости. Классы интегрируемых функций.

8. Кратные интегралы. Сведение кратного интеграла к повторному.

9. Криволинейные интегралы. Способы вычисления.

10. Формула Грина.

11. Поверхностные интегралы. Способы вычисления.

12. Степенные ряды. Теорема Абеля. Круг сходимости. Формула Коши-Адамара. Разложение элементарных функций в степенной ряд.

13. Дифференцируемые функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана.

14. Интегральные теоремы Коши.

15. Вычеты. Основная теорема о вычетах.

16. Ряд Фурье по ортонормированной последовательности. Полнота и замкнутость последовательности. Ряд Фурье по тригонометрической системе.

РАЗДЕЛ "ГЕОМЕТРИЯ И АЛГЕБРА"

1. Виды уравнений прямой на плоскости и в пространстве. Виды уравнений плоскости.

2. Классификация кривых второго порядка. Канонические уравнения кривых второго порядка.

3. Классификация поверхностей второго порядка. Канонические уравнения поверхностей второго порядка.

4. Определение группы, кольца, поля. Линейные (векторные) пространства.

5. Линейная независимость системы векторов, ее ранг. Базис и размерность линейного пространства. Координаты вектора в базисе, их изменение при смене базиса.

6. Условия совместности систем линейных алгебраических уравнений. Методы Крамера, Гаусса и матричный метод решения систем линейных алгебраических уравнений.

7. Линейные преобразования линейного конечномерного пространства, их матрицы. Изменение матрицы линейного преобразования при изменении базиса.

8. Собственные числа и векторы линейного преобразования и его матрицы. Жорданова форма матрицы, ее нахождение.

9. Приведение квадратичных форм к каноническому виду. Закон инерции. Положительно определенные квадратичные формы.

ВОПРОСЫ ПО ДИСЦИПЛИНАМ СПЕЦИАЛИЗАЦИЙ

Специализация «Математическое моделирование»

по курсу "Системы управления базами данных".

1. Создание Базы данных. Параметры базы данных.

2. Создание Базы данных с несколькими файловыми группами.

3. Полное резервное копирование и восстановление.

4. Разностное резервное копирование и восстановление.

5. Резервное копирование и восстановление журнала транзакций.

6. Создание имен входа и сопоставление их с именами пользователей. Назначение серверных ролей.

7. Создание имен входа и сопоставление их с именами пользователей. Назначение ролей базы данных.

по курсу «Финансовая математика».

1. Доходность финансовой операции с учетом налогов и инфляции.

2. Потоки платежей. Основные характеристики потока платежей.

3. Методы учёта частичных платежей по кредитам.

по курсу «Проектирование вычислительных комплексов».

1. Топология ЛВС (локальные вычислительные сети).

2. Протоколы ТСР/IP локальных вычислительных сетей.

3. Одноранговая сеть и сети с выделенным сервером.

по курсу «Введение в параллельные и распределенные вычисления».

1. Алгоритм распараллеливания умножения матрицы на вектор с использованием алгоритма разбиения матрицы по строкам.

2. Алгоритм распараллеливания умножения матрицы на вектор с использованием алгоритма разделения данных по столбцам.

3. Алгоритм распараллеливания умножения матрицы на вектор при блочном разделении данных.

по курсу «Математическое моделирование и программное обеспечение».

1. Математическое моделирование экономических процессов с помощью производственных функций.

2. Математическая модель межотраслевого баланса.

3. Математические модели в экологии.

4. Метод Монте-Карло. Алгоритм Метрополиса.

5. Метод Монте-Карло. Модель Изинга.

Специализация «Математические методы и программное обеспечение защиты информации»

по курсу «Локальные вычислительные сети».

1. Топология лвс (локальные вычислительные сети).

2. Протоколы ТСР/IP локальных вычислительных сетей.

3. Одноранговая сеть и сети с выделенным сервером.

по курсу «Системы управления базами данных».

1. Создание Базы данных. Параметры базы данных.

2. Создание Базы данных с несколькими файловыми группами.

3. Полное резервное копирование и восстановление.

4. Разностное резервное копирование и восстановление.

5. Резервное копирование и восстановление журнала транзакций.

6. Создание имен входа и сопоставление их с именами пользователей. Назначение серверных ролей.

7. Создание имен входа и сопоставление их с именами пользователей. Назначение ролей базы данных.

по курсу «Построение защищенной автоматизированной системы документооборота».

1. Составные части системы документооборота IBM Lotus Domino.

2. Реализация российской криптографии в системе документооборота IBM Lotus Domino.

3. Организация хранилища пользователей в системе документооборота IBM Lotus Domino.

4. Организация передачи ключей в системе документооборота IBM Lotus Domino, алгоритмы генерации ключей.

5. Электронно-цифровая подпись в системе документооборота IBM Lotus Domino.

6. Организация массовой рассылки в системе документооборота IBM Lotus Domino.

по курсу «Технологии телекоммуникаций».

1. Облачные решения.

2. Облачное хранилище данных (SQL Azure).

3. Очередь сообщений в Windows Azure.

4. Windows Azure App Fabric.

5. Инструментарий разработчика Windows Azure: Development Fabric и Development Storage.

6. Windows Azure Table: особенности, характеристики.

по курсу «Информационная безопасность сети Интернет».

1. Протоколы безопасной передачи данных в глобальных сетях (HTTPS, SSL).

2. Безопасность беспроводных сетей.

3. Безопасность web-серверов.

4. Протоколы передачи электронной почты.

5. Средства антивирусной защиты.

6. Программные межсетевые экраны.