7.02.2012
молодой раздел науки он возник не многим 35 лет назад. ЭММ(экономико математическая модель) это обобщающее название экономических и математических научных дисциплин объединённых для изучение экономики. ЭММ ориентирована на решение экономических задач которые можно корректно описать математической моделью с елью получения оптимального решения. Оптимальным называют решения которое по тем или иным признакам предпочтительней перед другими. ЭММ должна реально отражать цели математического процесса. Под целью будем понимать: тот конечный результат который необходимо получить путем выбора и реализации тех или иных управляющих воздействий. Обычно цель выражается в виде критерия, целевой функции, а условие и закономерности в виде математических соотношений. Когда цель определена оптимальным считается такой способ действий который в наибольшей степени способствует достижению это цели. Таким образом для построения математической модели необходимо: иметь строгое представления о цели исследуемой системы и располагать информацией об ограничениях которые определяют ОДЗ управляемых переменных. Как цель так и ограничение должны быть представлены в виде функции от управляемых переменных. Анализ математической модели должен привести к определению наилучшего управляющего воздействия на объект управления.
Процесс построения мат модели для решения поставленной задачи включает:
Введение переменных
Составление целевой функции
Составление системы ограничений на переменные
Алгоритм графического решения задачи:
Построение области допустимых решений в которой удовлетворяются все допустимые ограничения математической модели.
На график наносят ряд параллельных линий соответствующих целевой функции при нескольких произвольно выбранных и последовательно возрастающих значений Z.
Определяем наклон целевой функции и направление в котором происходит ее увеличение( то есть возрастание общего дохода).
Перемещаем прямую характеризующую доход в направлении возрастания целевой функции до тех пор пока она не сместится в область недопустимых решений.
Определяем последнюю точку касания прямой дохода и допустимой области. Решаем систему двух уравнений соответствующих данной этой точки.
Вычисляем значение целевой функции в данной точки.
14.02.2012
Симплекс метод.
Этот метод был разработан известным математиком Дж. Данцигом и в настоящее время стал универсальным методом линейного программирования. Процесс решения задач линейного программирования носит итерационный характер: однотипные вычислительные процедуры в определенной последовательности повторяются до тех пор пока не будет получено оптимальное решение.
В его вычислительной схеме реализуется упорядоченный процесс при котором начиная с некоторой допустимой угловой точки обычно начало координат осуществляется последовательный переход от одной допустимой экстремальной точки к другой до тех пор пока не будет найдена точка соответствующая оптимальному решению. Решение соответствующая началу координат называют начальным решением. От исходной точки начинается переход к некоторой смежной угловой точки. Выбор точки зависит от коэффициента в целевой функции. Выбор каждой последующей экстремальной точки при использовании симплекс методом определяется следующими 2мя правилами:
Каждая последующая угловая точка должна быть смежной с предыдущей.
Обратный переход предшествующий экстремальной точки не может производится.
Алгебраическим способом возможно определить экстремальные точки путем приравнивания к нулю такого количества переменных которое равно разности между количеством неизвестных и количеству уравнений. В этом состоит сущность свойства однозначности экстремальных точек.
Будем считать что линейная модель стандартной формы содержит M-равнений и N-неизвестных, правые части уравнений не отрицательны, тогда все допустимые экстремальные точки определяются как все однозначные неотрицательные решения системы из M-уравнений в которых N-M переменных =0.
Однозначные решения такой системы получаемые путем приравнивания N-M переменных к 0 называются базисным решением. Если базисное решение удовлетворяет требованию не отрицательности правых частей оно называется допустимым базисным решением.
Переменные имеющие нулевое значение называются не базисными переменными а остальные базисными переменными.
Максимальное число итераций при использовании симплекс метода равно максимальному числу базисных решений задач линейного программирования представленной в стандартной форме.
Реализация вычислительных процедур симплекс метода упрощается тем что каждую последующую экстремальную точку всегда можно определить путем взаимной замены по одной переменной в составе базисных и не базисных переменных. Процесс взаимной замены переменных приводит к необходимости введения 2х новых терминов:
Включаемой переменной называется не базисная в данный момент переменная которая будет включена во множество базисных переменных на следующей итерации.
Исключаемая переменная эта та базисная переменная которая на следующая итерации подлежит исключению из множества базисных переменных.
Алгоритм Симплекс метода:
Используя линейную модель стандартной формы определяют начальное допустимой базисное решение путем приравнивания к 0 N-M не базисных переменных.
Из числа текущих не базисных переменных равных 0 переменных выбирается включаемая в новы базис переменная увеличение которой обеспечивает улучшение значения целевой функции. Если такой переменной нет вычисления прекращаются так как текущее базисное решение оптимально, в противном случае осуществляется переход к шагу 3.
Из числа переменных текущего базиса выбирается исключаемая переменная которая должна принять нулевое значение стать не базисной, приведение в состав базисных новой переменной.
Находятся новые базисные решения соответствующая новым составам базисных и не базисных переменных. Затем осуществляется переход к шагу 2.