- •Богданов а.Е. Курс лекций
- •Содержание
- •§ 1. Основные понятия теории множеств
- •Основные понятия теории множеств
- •Способы задания множеств
- •Операции над множествами
- •§ 2. Соответствия. Функции. Отображения
- •§ 3. Понятие алгебры. Алгебра множеств кантора
- •Диаграмма Эйлера-Венна
- •§ 4. Бинарные отношения
- •Способы задания бинарных отношений
- •Свойства бинарных отношений
- •§ 5. Бинарное отношение эквивалентности
- •§ 6. Бинарное отношение порядка. Упорядоченные
- •§ 7. Решетки (структуры). Изоморфизм
- •Изоморфизм множеств
- •Дедекиндовые решетки
- •Дистрибутивные решетки
- •§ 8. Отношения (обобщение). Алгебраические
- •Операции над отношениями
- •Алгебраические системы
- •Глава ιι. Комбинаторный анализ
- •§ 1. Основные определения
- •Правила суммы и произведения
- •§ 2. Формулы расчета перестановок и сочетаний
- •§ 3. Бином и полином
- •§ 4. Подстановки
- •§ 5. Метод включений и исключений
- •§ 6. Метод производящих функций
- •§ 7. Комбинаторная мера информации. Вероятность искажения информации
- •Глава ιіі. Теория графов
- •§ 1. Первоначальные понятия теории графов
- •§ 2. Операции над графами. Способы задания графов Операции над графами
- •Способы задания графов
- •§ 3. Маршруты, цепи, циклы и другие характеристики графа
- •§ 4. Алгебраическая форма представления графа
- •Глава іv. Некоторые приложения графов
- •§ 1. Эйлеровы графы. Алгоритм флери. Гамильтоновы
- •Эйлеровы графы
- •Алгоритм Флери.
- •Метод построения эйлерового обхода двоичного куба
- •Гамильтоновы графы. Метод Робертса – Флореса
- •Метод перебора Робертса – Флореса
- •§ 2. Пространство циклов графа
- •§ 3. Независимое множество вершин графа
- •Алгоритм выделения пустых подграфов
- •§ 4. Вершинное число внешней устойчивости графа
- •§ 5. Плотность графа
- •Алгоритм выделения полных подграфов
- •§ 6. Раскраска графа
- •Оценки хроматического числа
- •Алгоритм минимальной раскраски вершин графа
- •§ 7. Планарность графа
- •Глава V. Оптимизационные алгоритмы теории графов
- •§ 1. Определение кратчайших путей. Алгоритм дейкстры
- •§ 2. Максимальный поток через сеть. Алгоритм
- •Алгоритм Форда – Фалкерсона
- •§ 3. Построение остова экстремального веса. Алгоритм краскала
- •§ 4. Метод ветвей и границ: задача коммивояжера. Общая модель задачи поиска
- •Дерево поиска частичных решений
- •§ 5. Применение ориентированных деревьев в задачах теории кодирования и диагностирования
- •§ 6. Построение оптимального дерева бинарного поиска. Алгоритм гильберта – мура
- •Алгоритм Гильберта – Мура построения оптимального дерева бинарного поиска Суть алгоритма
- •Алгоритм
- •§ 7. Сложность задач теории графов. Задача синтеза управляющих систем
- •Задача синтеза управляющих систем
- •Задача о выполнимости
- •Литература
- •Электронное пособие курс лекций
- •«Дискретная математика».
§ 7. Комбинаторная мера информации. Вероятность искажения информации
В комбинаторной мере информации количество информации определяется как число комбинаций элементов (сочетаний символов). Количество информации совпадает с числом возможных сочетаний, перестановок и размещений элементов. Комбинирование символов в словах, состоящих только из 0 и 1, меняет значения слов. Рассмотрим две пары слов:
100110 и 001101 ;
011101 и 111010 .
В них произведена перестановка крайних разрядов (изменено местоположение знакового разряда в числе – перенесен слева направо ).
В теории кодирования имеет место понятие вероятности искажения информации. Понятие корректирующщей способности кода обычно связывают с возможностью обнаружения и исправления ошибки. Количественно корректирующая способность кода определяется вероятностью обнаружения или исправления ошибки.
Пусть имеется п - разрядный код и вероятность искажения одного символа равна р. Число кодовых комбинаций, каждая из которых содержит k искажений символов, равна числу сочетаний из п по k :
.
Вероятность того, что искажены k символов, а остальные символов не искажены, определяется как . Тогда полная вероятность искажения информации определяется как
.
Глава ιіі. Теория графов
§ 1. Первоначальные понятия теории графов
Теория графов связана с проектированием вычислительных машин, комбинаторным анализом, служит математической моделью для всякой системы, содержащей бинарное отношение. Теория графов применяется при анализе функционирования сложных систем, таких как компьютерные и телефонные сети, сети железных дорог, ирригационные системы. Эта теория традиционно является эффективным аппаратом формализации задач экономической и планово-производственной практики, применяется в автоматизации управления производством, в календарном и сетевом планировании. В теории графов решалось много проблем, достойных внимания самых искушенных математиков. Основателем теории графов считается Леонард Эйлер, который доказал невозможность маршрута прохождения всех четырех частей суши в задаче о кенигсбергских мостах (1736 г.). Графы обладают эстетической привлекательностью благодаря их представлению в виде диаграмм.
Графом G называется совокупность множеств V и U, т.е.
G = < V, U > ,
где носитель V – множество вершин, а сигнатура U – множество дуг или ребер графа.
Дуга – линия с ориентацией, соединяющая две вершины графа.
Ребро – линия без ориентации, соединяющая две вершины графа.
Графы можно разбить на две большие группы: ориентированные (орграфы) и неориентированные графы.
Рис. 4.1
Ориентированный граф G = < V, U > ( рис. 4.1a) имеет:
множество вершин ,
множество дуг .
В дуге vi – начало дуги, vj – конец дуги.
Неориентированный граф G = < V, U > (рис. 4.1b) имеет:
множество вершин ,
множество ребер .
Дуга (ребро) u , соединенная с вершиной v, называется инцидентной вершине v , а вершина v – инцидентной дуге (ребру) u.
Две дуги (ребра) называются смежными , если они инцидентны одной и той же вершине.
Две вершины графа называются смежными, если они соединены ребром (дугой).
Вершины графа могут быть соединены двумя и более ребрами или дугами:
кратные ребра.
Граф, содержащий кратные ребра, называется мультиграфом.
кратные дуги кратные дуги
(строго параллельные) (нестрого параллельные)
Число вершин графа называется его порядком.
Степенью s(v) вершины v называется число дуг (ребер) , инцидентных этой вершине.
Граф может иметь петли:
Петля дает в степень вершины вклад 2.
Если степень вершины равна нулю, то вершина называется изолированной, а если единице – висячей.
Граф, состоящий из одной изолированной вершины, называется тривиальным
Граф называется однородным степени k, если степени всех его вершин равны k.
Граф без петель и кратных ребер (строго параллельных дуг) называется простым графом, с петлями и кратными ребрами (строго параллельными дугами) – псевдографом .
Граф называется полным , если все его вершины попарно смежны.
Полный граф обозначают через К п , где п – число вершин.
Пример. Задан ориентированный граф , у которого , . Является ли заданный граф G полным, однородным? Определить степень вершины v2 .
□ Зная множество вершин V и множество дуг U, всегда можно построить граф G (рис. 4.2)
G
Рис. 4.2
Заданный граф G не является полным, т.к. не все вершины попарно смежны: вершины v2 и v4 не смежны. Граф G не является однородным, т.к. не все степени его вершин имеют одинаковое значение. Степень вершины v2 равна 4, т.е. , т.к. этой вершине инцидентны две дуги и эта вершина имеет петлю. ■
Граф G называется двудольным, если множество его вершин V разбито на два непересекающихся подмножества V1 и V2 так, что каждое ребро (дуга) в G соединяет две вершины из разных подмножеств (рис. 4.3а).
Рис. 4.3
Двудольный граф называется полным, если каждая вершина из V1 соединена с каждой вершиной из V2 и наоборот и обозначается Km,n , где m – число вершин V1 , а n – число вершин V2 ( рис. 4.3б ).
Граф Кт,п имеет т + п вершин и т·п ребер. Граф К 1,п называется звездным графом.
Граф является частью графа , если . Часть графа может совпадать с самим графом G (также как в теории множеств ).
Граф, полученный из графа G удалением некоторых вершин и инцидентных им дуг (ребер) называется подграфом графа G .
Подграф, содержащий все вершины графа, называется остовным подграфом.
Подграф также является частью графа.
Множество вершин, смежных с вершиной , называется ее окрестностью (окрестностью единичного радиуса, сечением) и обозначается Г . Тогда граф G можно определить как совокупность множества вершин и множества их окрестностей, т.е.
.
Пример. Определить окрестность вершины v3 графа, изображенного на рисунке
□ Смежными с вершиной v3 являются вершины v2 , v4 , v5 , v6 .
Поэтому Гv3 = { v2 , v4 , v5 , v6 }. ■
Два графа G и G1 называются изоморфными, если между множествами их вершин существует такое взаимно однозначное соответствие, при котором в одном из графов ребрами соединены вершины в том и только в том случае, если в другом графе ребрами соединены те же вершины. Для орграфов ориентация дуг также должна быть одинаковой.
Другими словами, графы G и G1 изоморфны, если для них сохраняется отношение инцидентности .
Пример. Показать, что графы G и G1 ( рис. 4.4 ) изоморфные.
Рис. 4.4
□ Проверим для этих графов сохранение отношения инцидентности.
Граф G :
вершина v1 инцидентна ребрам u1, u2, u3 ;
вершина v2 инцидентна ребрам u2, u5, u6 ;
вершина v3 инцидентна ребрам u3, u4, u6 ;
вершина v4 инцидентна ребрам u1, u4, u5 .
Граф G1 :
вершина v1 инцидентна ребрам u1, u2, u3 ;
вершина v2 инцидентна ребрам u2, u5, u6 ;
вершина v3 инцидентна ребрам u3, u4, u6 ;
вершина v4 инцидентна ребрам u1, u4, u5 .
Отношение инцидентности выполняется, значит, графы G и G1 изоморфны. ■
Очевидно, что отношение изоморфизма графов является отношением эквивалентности, т.е. оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Следовательно, множество всех графов разбивается на классы так, что графы из одного класса попарно изоморфны, а графы из разных классов не изоморфны.
Если сопоставить каждой вершине графа вес wi из множества весов W, то получим множество взвешенных вершин
.
Если сопоставить каждой дуге графа G = < V, U > вес pi из множества весов Р, то получим множество взвешенных дуг
.
Совокупность множества взвешенных вершин и множества взвешенных дуг определяет взвешенный граф .
Аналогично определяется взвешенный неориентированный граф.
Совсем не обязательно, чтобы были взвешены одновременно вершины и дуги (ребра) графа. В качестве весов могут использоваться какие-либо числа, переменные, функциональные переменные.