§ 31. Гармонические колебания груза на пружине

Рассмотрим в качестве примера систему, состоящую из шарика массы , подвешенного на пружине, массой которой можно пренебречь по сравнению с . В положении равновесия сила тяжести уравновешивается упругой силой (рис. 31.1):

, (31.1)

где – удлинение пружины. Будем характеризовать смещение шарика из положения равновесия координатой , причем ось направим по вертикали вниз, а точку (начало отсчета) совместим с положением равновесия шарика.

Рис. 31.1

Если сместить шарик в положение, характеризуемое координатой , то удлинение пружины станет равным , и проекция результирующей силы на ось примет значение

Учтя условие (31.1), получим, что

(31.2)

т.е. результирующая силы тяжести и упругой силы имеет характер квазиупругой силы.

С учетом (31.2) уравнение второго закона Ньютона для шарика примет вид:

(31.3)

где означает вторую производную смещения по времени; – собственная частота колебаний.

Таким образом, в отсутствие сил трения движение под действием квазиупругой силы описывается дифференциальным уравнением (31.3). Общее решение этого уравнения имеет вид

§ 32. Превращения энергии при гармонических колебаниях

Если колебания тела происходят по закону

то кинетическая энергия этого тела равна

(32.1)

Потенциальная энергия выражается формулой

(32.2)

при этом за нулевой уровень отсчета выбирается положение равновесия .

Сложив (32.1) и (32.2) с учетом соотношения , получим формулу для полной энергии гармонического колебания

(32.3)

из которой следует, что полная энергия гармонического колебания является величиной постоянной. Действительно, поскольку квазиупругая сила является консервативной, то в отсутствие сил трения полная механическая энергия гармонического колебания и должна оставаться постоянной. В процессе колебаний происходит превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно, причем в моменты наибольшего отклонения от положения равновесия полная энергия состоит только из потенциальной, а при прохождении системы через положение равновесия энергия состоит только из кинетической энергии.

Из (32.3) следует, что

,

т.е. амплитуда гармонических колебаний определяется энергией, сообщенной системе.

Используя формулы тригонометрии, можно показать, что и изменяются с частотой , т.е. с частотой, в 2 раза превышающей частоту гармонического колебания.

§ 33. Физический и математический маятники

Физическим маятником называется абсолютно твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через его центр масс.

На рисунке 33.1 изображено произвольное тело массой , колеблющееся вокруг оси (ось перпендикулярна плоскости чертежа); – центр масс; – плечо силы тяжести.

Рис. 33.1

Пусть ось вращения (качания) маятника является осью декартовой системы координат с началом в точке . Свяжем положительное направление оси с положительным направлением отсчета угла поворота правилом правого винта. (Примем направление отсчета угла против часовой стрелки за положительное.) Тогда ось будет направлена ’’к нам’’.

Если силами трения в подвесе маятника можно пренебречь, то момент относительно оси создает только его сила тяжести . Под действием этой силы при отклонении маятника на угол в положительном направлении возникает вращательный момент этой силы относительно точки

,

направленный в противоположную оси сторону. Тогда проекция вектора на ось

(33.1)

С другой стороны, согласно основному уравнению динамики вращения твердого тела

(33.2)

Так как , то (33.2) можно переписать в виде

где – момент инерции маятника относительно оси качания .

При малых колебаниях маятника , и уравнение (33.2) принимает вид дифференциального уравнения гармонических колебаний,

решение которого имеет вид

(33.3)

где – собственная частота колебаний физического маятника, зависящая, как видно из приведенной формулы, от массы, момента инерции тела и расстояния между осью вращения и центром масс. В соответствии с формулами (28.2) и (33.3) период колебаний физического маятника определяется выражением

(33.4)

Математический маятником называется материальная точка (частица), подвешенная на невесомой и нерастяжимой нити (длиной ) и совершающая колебания в вертикальной плоскости под действием силы тяжести.

Математический маятник представляет собой предельный случай физического маятника, вся масса которого сосредоточена в его центре масс, так что , .

Период колебаний математического маятника зависит только от его длины и ускорения свободного падения:

Возвращающей силой в этом случае является проекция силы тяжести на направление движения ( ). Для постоянства коэффициента , а следовательно, и частоты колебаний , необходимо постоянство длины нити . Между тем составляющая силы тяжести , действующая вдоль нити, может вызывать ее удлинение, которое будет минимальным в крайних положениях и максимальным при прохождении тела через положение равновесия. Поэтому для того чтобы колебания маятника были гармоническими, необходимо, кроме малости углов отклонения, дополнительно еще и условие нерастяжимости нити.

Пример 33.1. Диск радиусом см колеблется около горизонтальной оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска. Определить период колебаний такого маятника.

Решение. Период колебаний физического маятника определяется по формуле (33.4),

где – момент инерции маятника относительно оси колебаний, – его масса, – расстояние от центра масс маятника до его оси колебаний.

Момент инерции диска найдем, воспользовавшись теоремой Штейнера:

(33.5)

где – момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр масс параллельно оси колебаний, – расстояние между указанными осями.

Учитывая, что для диска

и по условию задачи

представим (33.5) в виде

(33.6)

Подставляя выражение (33.6) в формулу (33.4), получаем окончательно

Ответ: с.

Вопросы:

1) Какие колебания называют гармоническими? собственными?

2) Что такое смещение?

3) Дайте определение амплитуды, фазы, периода, частоты, циклической частоты.

4) Какая сила называется квазиупругой? Приведите примеры квазиупругих сил.

5) От чего зависят амплитуда и начальная фаза гармонических колебаний?

6) Как зависит ускорение гармонических колебаний от смещения?

7) Выведите формулу для полной энергии при гармонических колебаниях.

8) Какую систему можно считать математическим маятником?

Лекция 10. Механические колебания (продолжение)