Средние величины и показатели вариации
6.1 Методические указания и решение типовых задач
Средней величиной называют показатель, который характеризует обобщенное значение признака или группы признаков в исследуемой совокупности. Средние величины используются на этапе обработки и обобщения полученных первичных статистических данных. Потребность определения средних величин связана с тем, что у различных единиц исследуемых совокупностей индивидуальные значения одного и того же признака, как правило, неодинаковы. Если исследуется совокупность с качественно однородными признаками, то средняя величина выступает здесь как типическая средняя.
Понятие и виды средних величин. Средняя величина - это обобщающий показатель статистической совокупности, который погашает индивидуальные различия значений статистических величин, позволяя сравнивать разные совокупности между собой. Существует 2 класса средних величин: степенные и структурные.
К структурным средним относятся мода и медиана, но наиболее часто применяются степенные средние различных видов.
Степенные средние величины.Степенные средние могут быть простыми и взвешенными.Простая средняя величина рассчитывается при наличии двух и более несгруппированных статистических величин, расположенных в произвольном порядке по следующей общей формуле:
Взвешенная средняя величина рассчитывается по сгруппированным статистическим величинам с использованием следующей общей формулы:
где X – значения отдельных статистических величин или середин группировочных интервалов; m - показатель степени, от значения которого зависят следующие виды степенных средних величин: при m = -1 средняя гармоническая; при m = 0 средняя геометрическая; при m = 1 средняя арифметическая; при m = 2 средняя квадратическая; при m = 3 средняя кубическая.
Главным условием, при котором можно использовать степенные средние в статистическом анализе, является однородность совокупности, т.е. она не должна содержать исходные данные, резко отличающиеся по своему количественному значению (в литературе они носят название аномальных наблюдений).
Продемонстрируем важность этого условия на следующем примере. Допустим, вычисляется средняя заработная плата работающих на малом предприятии :
Таблица 6.1
-
Заработная плата, руб. в мес.
2500
5950
6790
7000
Число работающих, чел.
5
10
12
8
Тогда средний размер заработной платы составит:
А теперь предположим, что в нашу совокупность добавился всего лишь один человек, но с окладом в 50000 руб. (очевидно, это директор предприятия). В таком случае вычисляемая средняя будет совсем другая:
Как видим, значение средней превышает 7000 руб., т. е. она больше всех значений признака за исключением одного единственного наблюдения, Для того чтобы таких случаев не происходило на практике, и средняя не теряла бы своего смысла (в данном примере она уже не выполняет роль обобщающей характеристики совокупности, которой должна быть), при расчете средней следует аномальные, резко выделяющиеся наблюдения либо исключить из анализа и тем самым сделать совокупность однородной, либо разбить совокупность на однородные группы и вычислить средние значения по каждой группе и анализировать не общую среднюю, а среднегрупповые значения.
Средняя арифметическая. Средняя арифметическая - это самая часто используемая средняя величина, которая получается, если подставить в общую формулу m=1. Средняя арифметическая простая имеет следующий вид:
где X - значения величин, для которых необходимо рассчитать среднее значение; N - общее количество значений X (число единиц в изучаемой совокупности). Например, предположим, что у нас имеются данные о величине рентабельности по 10 малым предприятиям (%):10, 12, 12, 15, 15, 15, 17, 17,20,20.
Тогда средняя рентабельность составит:
Средняя арифметическая взвешенная имеет следующий вид:
где f - количество величин с одинаковым значением X (частота).
Теперь обобщим (систематизируем) наши данные, для чего сгруппируем их .Запишем выражение для вычисления среднего уровня рентабельности в табличной форме:
Таблица 6.2