Квантование момента импульса
Момент импульса в квантовой теории:
одна
из важнейших характеристик движения;сохраняется, если система изолирована или движется в центральном силовом поле;
точно может быть задано значение только одной из проекций, остальные – не определены и направление неопределено.
Если определена,
например,
,
то
как-то размазан по образующим конуса,
Mx и My не определены.
M2 можно определить из уравнения
ψ
= M2ψ;доказано, что M2 = 𝑙(𝑙+1)ħ2, где 𝑙 = 0, 1, 2,… - орбитальное квантовое число.
Тогда
– дискретная (квантованная) величина;
,
,
не зависят от выбора точки отсчета 0,
тогда как классический
= зависит;
зависит только от направления координатных осей.
П роекция момента импульса
Из
=
и
ψ
=
ψ
⇒
ψ =
ψ.
Из этого уравне-
ния
,
где m
= 0,
1,
…
- магнитное
квантовое число. Направление
оси Z
выбрано произвольно, значит
квантуется
на
любое направление.
Из
и
видно, что М и Мzквантованы
(на рис. l=2).
Схематически
,
соответствующую квантовому числу l
можно рассматривать как суперпозицию
,
отличающихся числом m,
т.е. состояние
с заданным l
является вырожденным по m.
и (при заданном l)
m
принимает 2l+1
значений:
-l,… , -1,0,1,…, l и образует спектр значений Мz.
l задает как модуль М момента импульса, так и все возможные значения его
проекций
Мz.
Пример:
l=2:
;
Мz
= 0,±1
,
±2
Итак:
-
пространственное
квантование.
Ротатор
Ротатор- неизменяемая вращательная система.
В классической
физике энергия вращения твердого тела
,
где М- момент импульса тела, I-
момент инерции тела относительно оси
вращения.
В
квантовой физике :
.
Собственные значения
квантованы :
.
Значит, собственные значения
также квантованы и
,
где r=0,1,2,3,…-вращательное
квантовое число.
r вместо l подчеркивает, что это выражение характеризует вращение молекул.
Интервал между вращательными уровнями энергии ротатора (молекулы) растет с увеличением r:
.
При
этом действует правило
отбора:
.
Ч
астоты
линий спектра при переходах :
,
где r-
квантовое число уровня на
который
происходит переход.
Для двухатомной молекулы I берется относительно оси ОО´, проходящей через центр масс С нормально к линии, соединяющей ядра атомов. При этом
,
где
-
приведенная масса, m1
и m2-
массы атомов молекулы, d
– расстояние между ядрами атомов
молекулы. Уровни энергии и линии
спектров вращения молекул:
Зная
,
можно определить I
молекулы и при известных m1
и m2
вычислить d.
В общем случае молекула одновременно
вращается и колеблется, что приводит к
появлению колебательно-вращательных
спектров.
Линии спектра отстоят друг от друга
на
.
При переходе с излучением энергия
,
где
и
-
соответственно энергии колебаний и
вращения молекулы.
∆Eкол
=
∆Eвр>0 при r1>r2
∆Eвр<0 при r1<r2
Правило отбора разрешает переходы:
r1 = 3 → r2 = 2 => ∆Eвр = ∆E32
r1 = 2 → r2 = 1 => ∆Eвр = ∆E21
r1 = 1 → r2 =0 => ∆Eвр= ∆E10
r1 = 0 → r2 = 1 => ∆Eвр= -∆E10
r1 = 1 → r2 = 2 => ∆Eвр = -∆E21
r1 = 2 → r2= 3 => ∆Eвр = -∆E32
r1
= 0 → r2
= 0 запрещен, поэтому
линии
с ω = ω0
в спектре нет.