10.9. Интегрирование функций, рационально зависящих от .

В этом разделе мы рассмотрим интегралы , где рационально зависящая от sin x, cos x функция R(sin x, cos x) - отношение двух многочленов относительно этих функций (пример - ). 10.9.1. Универсальная тригонометрическая подстановка. Переход в подынтегральной функции к переменной преобразует R(sin x, cos x) в функцию, рационально зависящую от t; методы интегрирования таких функций рассмотрены в предыдущем разделе. Выразим sin x, cos x, dx через t: (делим на ) ; (делим на ) . В результате все компоненты подынтегральной функции выражаются через функции, рационально зависящие от t. Пример: . Универсальная тригонометрическая подстановка всегда рационализирует подынтегральную функцию, с её помощью легко берутся интегралы вида (a, b, c - постоянные); однако часто она приводит к очень громоздким рациональным дробям, у которых, в частности, практически невозможно найти корни знаменателя. Поэтому при возможности применяются частные подстановки, которые тоже рационализируют подынтегральную функцию и приводят к менее сложным дробям.

10.9.2. Частные тригонометрические подстановки.

10.9.2.1. Подынтегральная функция нечётна относительно sin x, т.е. R(-sin x, cos x) == - R(sin x, cos x). В этом случае применима подстановка t = cos x. 10.9.2.2. Подынтегральная функция нечётна относительно cos x, т.е. R(sin x, -cos x) = = - R(sin x, cos x). В этом случае применима подстановка t = sin x. 10.9.2.3. Подынтегральная функция чётна относительно sin x и cos x, т.е. R(-sin x, -cos x) = R(sin x, cos x). В этом случае применима подстановка t = tg x (или t = ctg x, причём ответить на вопрос, что лучше, может только проба). Выражения sin x, cos x и dx через tg x: . Примеры: 1. . Подынтегральная функция нечётна относительно sin x: , поэтому . (можно перейти к более просто: и т.д.) 2. (Подынтегральная функция нечётна относительно cos x) = . 3. (подынтегральная функция не меняется при одновременном изменении знака у sin x и cos x, поэтому t = tg x)

. При нахождении таких интегралов для понижения степеней иногда целесообразно воспользоваться основным тригонометрическим тождеством: . Интегрирование степеней tg x и ctg x попадает под пункт 10.9.2.3:

10.9.3. Интегрирование произведения чётных степеней sin x, cos x. При вычислении интегралов следует понизить степень тригонометрических функций переходом к косинусу двойного угла: . Угол удваивается до тех пор, пока одна из степеней не станет нечётной, после этого можно воспользоваться приёмами 10.9.2.1 или 10.9.2.2. Пример: . 10.9.4. Интегрирование произведений синусов и косинусов кратных дуг. При нахождении интегралов вида , , с помощью школьных тригонометрических формул , , задача сводится к интегрированию линейной комбинации тех же функций (с другими аргументами). Пример:

.

10.10. Интегрирование некоторых алгебраических иррациональностей.

10.10.1. Интегралы вида , где - натуральное число, - функция, рационально зависящая от своих аргументов. Пример такой функции - . Как видно из этого примера, к рассматриваемому типу сводятся интегралы вида , где p, q, r, … - рациональные числа, так как, если n - общий знаменатель чисел p, q, r, … , то подынтегральная функция рационально зависит от x и . Подстановка x = t ⁿ рационализирует подынтегральную функцию, т.е. сводит её к рациональной функции переменной t. Пример: . Наименьшее общее кратное показателей корней равно 6, поэтому применяем подстановку x = t ⁶: . 10.10.2. Интегралы вида , где a, b, c, d - постоянные, остальные параметры имеют тот же смысл, что и в предыдущем разделе, рационализируются подстановкой . Пример: . 10.10.3. Тригонометрические подстановки для интегралов вида . В разделе 10.7. Интегралы, содержащие квадратный трёхчлен, мы уже рассматривали некоторые методы интегрирования таких функций. Здесь мы рассмотрим тригонометрические подстановки для вычисления таких интегралов, которые сводят подынтегральнуюфункцию к функции, рационально зависящей от и . После выделения полного квадрата в трёхчлене (и соответствующей линейной замены переменной) интеграл сводится, в зависимости от знаков и дискриминанта трёхчлена, к интегралу одного из следующих трёх видов: , , . Далее:

1. рационализируется подстановкой x = a sin t (или x = a cos t). Мы применяли эту подстановку в разделе 10.5. Замена переменной в неопределённом интеграле.

2. рационализируется подстановкой (или , или ).

3. рационализируется подстановкой x = a tg t (или x = a ctg t, или

x = a sh t).

Примеры: 1. . Интеграл вида , из возможных подстановок наиболее удобной оказывается x = ctg t ( это можно установить только пробой!). , поэтому . Ответ можно записать поизящнее. По школьным формулам , поэтому . 2.