- •10.1. Первообразная функция.
- •Если функция
- •10.2. Неопределённый интеграл и его свойства.
- •10.3. Таблица неопределённых интегралов.
- •10.4. Простейшие правила интегрирования.
- •10.5. Замена переменной в неопределённом интеграле (интегрирование подстановкой).
- •10.6. Интегрирование по частям.
- •10.7. Интегралы, содержащие квадратный трёхчлен .
- •10.8. Интегрирование рациональных функций.
- •10.9. Интегрирование функций, рационально зависящих от .
- •10.9.2. Частные тригонометрические подстановки.
- •10.10. Интегрирование некоторых алгебраических иррациональностей.
10.1. Первообразная функция.
Опр.10.1. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале X=(a,b) (конечном или бесконечном), если в каждой точке этого интервала f(x) является производной для F(x), т.е. . Из этого определения следует, что задача нахождения первообразной обратна задаче дифференцирования: по заданной функции f(x ) требуется найти функцию F(x), производная которой равна f(x). Первообразная определена неоднозначно: для функции первообразными будут и функция arctg x, и функция arctg x-10: . Для того, чтобы описать все множество первообразных функции f(x), рассмотрим
Свойства первообразной.
Если функция
F(x) - первообразная для функции f(x) на интервале X, то функция f(x) + C, где C - произвольная постоянная, тоже будет первообразной для f(x) на этом интервале. (Док-во: ).
Если функция
F(x) - некоторая первообразная для функции f(x) на интервале X=(a,b), то любая другая первообразная F1(x) может быть представлена в виде F1(x) = F(x) + C, где C - постоянная на X функция. Док-во. Так как функции F(x) и F1(x) - первообразные для f(x), то (по теор.8.1. условие постоянства дифференцируемой функции на интервале)
Для любой первообразной
F(x) выполняется равенство dF(x) = f(x) dx.
Из этих свойств следует, что если F(x) - некоторая первообразная функции f(x) на интервале X, то всё множество первообразных функции f(x) (т.е. функций, имеющих производную f(x) и дифференциал f(x) dx) на этом интервале описывается выражением F(x) + C, где C - произвольная постоянная.
10.2. Неопределённый интеграл и его свойства.
Опр.10.2. Множество первообразных функции f(x) называется неопределённым интегралом от этой функции и обозначается символом . Как следует из изложенного выше, если F(x) - некоторая первообразная функции f(x), то , где C - произвольная постоянная. Функцию f(x) принято называть подынтегральной функцией, произведение f(x) dx - подынтегральным выражением.
Свойства неопределённого интеграла, непосредственно следующие из определения:
.
(или ).
10.3. Таблица неопределённых интегралов.
1 |
. |
11 |
. |
2 |
. |
12 |
. |
3 |
( ). |
13 |
. |
4 |
. |
14 |
. |
5 |
; . |
15 |
. |
6 |
. |
16 |
|
7 |
. |
17 |
. |
8 |
. |
18 |
. |
9 |
. |
19 |
. |
10 |
. |
20 |
; . |
В формулах 14, 15, 16, 19 предполагается, что a>0. Каждая из формул таблицы справедлива на любом интервале, на котором непрерывна подынтегральная функция. Все эти формулы можно доказать дифференцированием правой части. Докажем, например, формулу 4: если x > 0, то ; если x < 0, то . Дальше мы докажем, что любая непрерывная функция имеет первообразную и, как следствие, неопределённый интеграл. При изучении дифференцирования было установлено, что с помощью таблицы производных и правил дифференцирования без труда можно получить производную любой элементарной функции, и эта производная тоже будет элементарной функцией. Операция интегрирования этим свойством не обладает: даже относительно простые функции могут иметь первообразные, которые через элементарные функции не выражаются. Так, доказано, что не берутся в элементарных функциях следующие интегралы, относящиеся к классу специальных функций: - интеграл Пуассона; , - интегралы Френеля; , , - интегральные синус, косинус, логарифм.