3. Качественный анализ модели.

В одномерном движении качественный характер движения легко представим, как движение шарика под действием силы тяжести по желобу, профиль которого совпадает с потенциальной кривой. При движении с двумя степенями свободы, потенциальная энергия зависит от двух координат, следовательно, потенциальная кривая превращается в потенциальную поверхность. И в этом случае характер движения системы можно представить как движение шарика под действием силы тяжести по поверхности, рельеф которой совпадает с потенциальной поверхностью.

Так в рассматриваемой задаче потенциальная энергия («настоящая», а не «эффективная»), определяется функцией

Поверхность этой функции показана на рис. 13.9, мысленно опускайте в эту «воронку» маленький шарик, предварительно сообщив ему горизонтальную скорость, и наблюдайте сверху движение шарика как модель движения планеты. Если шарик имеет горизонтальную компоненту скорости, то он никогда не сможет опуститься на большую глубину в эту бесконечно глубокую яму, потому, что с увеличением глубины, радиус ямы уменьшается, поэтому «во имя» сохранения момента импульса скорость шарика должна возрастать до бесконечности, что запрещает закон сохранения энергии.

Рис. 13.9

Предельные точки орбиты планеты можно найти, полагая в уравнении закона сохранения энергии . Итак, для определения точек возврата имеем уравнение

корнями которого являются: (это начальное положение) и

Кратко повторим возможные виды движений, в зависимости от значения начальной скорости:

а) при , то есть планета начинает приближаться к звезде;

б) при , то есть орбита является круговой;

в) при , то есть планета начинает удаляться от звезды, но не удаляется на бесконечно большое расстояние;

г) при , кинетической энергии планеты хватает, чтобы преодолеть притяжение звезды, поэтому планета удаляется на бесконечно большое расстояние.

Движение планеты в системе двух звезд тривиально, если расстояние между звездами много меньше расстояний от звезд до планеты, либо расстояние между планетой и одной звездой много меньше расстояния между звездами. Такие задачи сводится к выше рассмотренной – движение планеты около одной звезды. Любые другие варианты порождают очень сложные траектории, трудно поддающиеся качественному анализу. Давайте доверимся модели, раз уж мы ее разрабатываем.