3.11. Приклади визначення ймовірності безвідмовної роботи

Структурними елементами складної системи можуть бути підсистеми, які утворюють послідовні або паралельні з’єднання елементів. При визначенні ймовірності безвідмовної роботи такої системи користуються загальними принципами. Елементи, що утворюють послідовні або паралельні з’єднання, зводяться до еквівалентного елемента. Послідовні елементи зводяться до еквівалентного елемента, ймовірність безвідмовної роботи якого визначається за формулою (3.21). Тобто зведення ведеться по безвідмовності. Паралельні елементи зводяться до еквівалентного елемента, безвідмовність якого визначається за формулою (3.27).

Приклад 3.1. Визначити ймовірність безвідмовної роботи системи, що задана. Ймовірності безвідмовної роботи кожного елемента відомі. Система складається з елементів, що утворюють послідовні або паралельні з’єднання. Алгоритм спрощення системи за рахунок переходу до еквівалентних елементів подано в такій послідовності:

Відповідні розрахунки, згідно з алгоритмом, мають вигляд:

1. q_2,3 = q₂ ∙ q₃ = (1 – p₂)(1 – p₃); → p_2,3 = 1 – q_2,3.

2. p_1-4 = p₁ ∙ p_2,3 ∙ p₄; p_5,6 = p₅ ∙ p₆.

3. q_C = q_1-4 ∙ q_5,6 = (1 – p_1-4)(1 – p_5,6); → p_C = 1 – q_C.

Практичне застосування мають також системи, що не зводяться до підсистем із паралельним чи послідовним з’єднанням елементів. У цьому випадку немає загальних методів визначення імовірнісних характеристик. Загальною може бути лише рекомендація здійснити прямий перебір усіх можливих робочих та неробочих станів системи при всіх можливих відмовах елементів.

Приклад 3.2. Задана схема надійності системи

Визначити ймовірність безвідмовної роботи системи, якщо відомі ймовірності безвідмовної роботи кожного елемента.

У цій схемі немає жодної пари елементів, що утворюють послідовне чи паралельне з’єднання. Нехай подія А_і відповідає робочому стану і-го елемента, тоді подія відповідає відмові цього елемента. Конкретний робочий стан системи як подія А_С визначається певним набором конкретних станів А_і чи його елементів. Подія А_С може бути представлена як добуток подій А_і чи , і=1,…, n. Інколи простіше шукати , але результат буде тим самим. Загальна кількість робочих станів m системи одержимо прямим перебором усіх подій А_і чи , починаючи з нуля відмов і закінчуючи відмовою всіх елементів. Наведемо поетапний розв’язок задачі.

1. Відмови елементів відсутні, тобто працюють усі елементи

Надалі загальні формули будемо доводити до більш простого вигляду для випадку, коли ймовірності безвідмовної роботи всіх елементів однакові ( ). Тоді .

2. Відмовив один елемент, а інші працюють. Оскільки при цьому сигнал проходить від полюса А до полюса В у всіх п’яти випадках, то

+ .

.

3. Відмовили два елементи, а три працюють. Відмова пари елементів 1 та 4 і пари елементів 2 та 5 призводить до розриву схеми, тобто відповідає відмові всієї системи. Всі інші попарні відмови залишають систему в працездатному стані

+

+ .

.

4. Відмовили три елементи, а два працюють. У цьому випадку система залишається у працездатному стані лише у двох випадках

.

.

5. Відмовили чотири елементи, а один працездатний. У цьому випадку немає жодного працездатного стану, тому p_C(4)=0.

Таким чином, ймовірність безвідмовної роботи системи знайдемо як ймовірність безвідмовної роботи несумісних подій A_C(0), A_C(1), A_C(2), A_C(3). А це є сума відповідних ймовірностей

.

Зважаючи на те, що p=p(t), остаточно одержимо

.

Методом прямого перебору можна визначити ймовірність безвідмовної роботи систем із елементами типу релейно-контактних, не ускладнюючи при цьому структурної схеми надійності.

Приклад 3.3. Задана резервована схема однакових діодів.

Задана ймовірність безвідмовної роботи діода p, тому заданою вважається ймовірність відмови діода q=1-p. Ймовірність відмови діода по пробою q_n=φ_nq, а по обриву q₀=φ₀q. Оскільки ймовірність відмови діода q= q_n + q₀ = φ_nq + φ₀q= =(φ_n+φ₀)q, тому φ_n + φ₀ = 1. Отже, ймовірність відмови діода по пробою задаємо коефіцієнтом φ_n, а по обриву φ₀. Коефіцієнти φ_n i φ₀ вважаємо заданими. Знайдемо ймовірність безвідмовної роботи системи при φ_n =0,85.

Визначимо працюючі стани системи та їх ймовірності в залежності від характеру та кількості відмов діодів (у кожному діоді може бути лише одна відмова):

А(0п,00) – працюють всі діоди	p(0,0) = p4
А(1п,00) – один діод пробитий	p(1,0) = 4p3 q φn
А(0п,10) – один діод обірваний	p(0,1) = 4p3 q φ0
А(1п,10) – є один пробій і один обрив	p(1,1) = 12p2 q2 φn φ0
А(2п,00) – є два пробої	p(2,0) = 4p2 q2 (φn)2
А(0п,20) – є два обриви	p(0,2) = 2p2 q2 (φ0)2
А(2п,10) – є два пробої і один обрив	p(2,1) = 8pq3 (φn)2 φ0
А(1п,20) – є один пробій і два обриви	p(1,2) = 4pq3 (φ0)2 φn

Тут було враховано наступне. Система відмовляє, якщо вона не пропускає сигналу або пропускає не випрямлений струм. З цієї точки зору пробої пари діодів 1 та 2, а також пари діодів 3 та 4 неприпустимі. Неприпустимі обриви двох діодів різних гілок.

Ймовірність безвідмовної роботи системи

p_С = p⁴ + 4p³q φ_n + 4p³q φ₀ + 12p²q²φ_nφ₀ + 4p²q²(φ_n)² +

+ 2p²q²(φ₀)² + 8pq³(φ_n)²φ₀ + 4pq³(φ₀)²φ_n.

Враховуючи, що φ₀ = 1 - φ_n = 1 – 0,85 = 0,15, після спрощення остаточно одержимо: p_С = 0,5215p⁴ - 2,0995p³ + 1,6345p² + 0,9435p.