Konspect_HE_1

Тема1М. триці

1.1. Основніозначення

Поняттяматрицівпершеввелианглійськіматематики

У.ГамільтонД.Келі.

n стовпців і

Означення.

Матрназпрямокутнаицеюваєтьтаблицячисел,складеназ

m рядківта

записанаувигляді

a11

a12

a1n

...

A =

a

a

...

a

21

22

...

2 n .

... ...

...

a

m1

a

...

a

m 2

mn

i j

, i

{

}

{

}

називають елематриціентами

A ,

причомуіндекс

i уза

писічисла

ij

Числа a

1,..., m ,

j 1,..., n

a

позначаєномеррядка,

j – номерстовпця,наперетиніякихрозміщуєтьсяданийелемент.Короткоматрицю

позначаютьтак:

A = (ai j ).

Добутокчисларяд ів

m начислостовпців

n називають розміромматри

ці A .Якщопотрібновказати

розмірмат иці

A ,використовуютьпозначення

Am×n

≡ (ai j ) .

m×n

квадратною. Кількістьрядків

Матр,вякоїчислоця

рядківдорівнює

числу стовпців,називається

(сто впців)квадратноїматриціназиваєтьсяїї

порядком.

Матриця,вякоївсьогоодинрядок,називається

A = (ai j ) та

матрицею-рядком,матриця,вякоївсьогоодинст, впець

– матрицею-стовпцем.Двіматриці

B = (bi j )

називаються рівними,якщоднаковогорозмірумаютьрівнівідповіделеме: ніти

ai j

= bi j .

Нульовою називаєтьсяматриця,якоївсіелемедорівнюютьнулеві.ти

An×n = (ai j )

Позначаєтьсятакаматрицябуквою

O .Увипадкуквадратноїм

атриці

виділяютьголпобічнудіагоналівну.

Головну діагональ

матриці An × n = (aij) складаютье

лементи a11 , a22 ,..., ann , побічну – елементи an1 , a n−1 2 ,..., a1n .

(

)

Квадрматрицян зиваєтьсятна

діагональною, якщовсіїїелементи,крімтих,щознаходяться

головнійдіаг, рівнюютьналінулеві.Діагональнаматриця, коелементїжнийголовноїдіагоналі

одиничною іпозначаєтьсябуквою

E .Наприклад,од

дорівнюєодиниці,називається

иничнаматтретьогоиця

порядкумаєвигляд

1

0

0

0

1

0

E =

.

0

0

1

1Дії.2надматрицями.

10. Операціядодаматрицьванняводитьсялишедляматрицьоднаковогорозміру.

Сумою C := A + B

двохматриць

Am×n

= (ai j ) та Bm×n = (bi j ) називаєтьсяматриця

Cm×n = (ci j ) = (ai j +bi j ).Отже,заозначенням,

20. Добуматкомриці

Am×n = (ai j ) начисло

k називаєтьсяматриця

Bm×n = (kai j ).

30. Різницяматриць

A − B визначяксуматриціється

A таматриці

B ,помноженої а (−1):

а)

A + B = B + A – комутативідносноністьдодаванняматриць;

б)

A + (B + C) = ( A + B) + C – асоціативністьвідноснододаванняматриць;

в)

A + O = A;−A =A

O (нульоваматрицядіяхматрицямидвідіграєтакужроль,якч нульсловдіях

надчислами);

г)

α (β A) = (αβ ) A– асоціативністьвідносномноженнячисел;

д)

α ( A + B) = α A

+α B – дистрибутивністьмноженняначисл

овідноснододаванняматриць;

е)

(α + β) A = α A + β A– дистрибутивмноженнянаматрицювіддодаванняістьосночисел.

40. Операціямноженнядвохматриць

вводитьсялишедляузгодженихматриць.Матриця

A

називається

узгодженоюматрицею

B ,якщо кількісстовпцівма ьриці

A доркількостівнюєрядків

матриці B . Зузгодженостіматриці

A зматрицею B невипливає,взагалікажучи,узгодженістьматриці

B з

матрицею A .Квадратніматриціодногопорядкувзаємноузгоджені.

Добутком C = AB матриці Am×n = (ai j )наматрицю

Bn×k

= (bi j ) називаєтьсяматриця,уякоїелемент

ci

j дорівнюєсумідобутківелементів

i − горядкаматриці

A навідповіделеменіти

j − гостовпцяматриці

B :

= (ci j ),

ci j

= ai1b1 j + ai 2b2 j +... + ainbnj ;

C = Cm×k

i {1,..., m},

j {1,..., k}.

Цеозначенняназиваютьправиломмноженнярядканастовпець.

C = AB ,якщо

Приклад.

Знайтиматрицю

A =

1

2

,

1

2

3

0

B =

−2 0

.

−1

−1

Розв’язання.

Матриця A2×2

узгодженаматрицею

B2×3 ,томузаозначенняммаємо,що

1 1+ 2−( 2)

1 +2 2 0

1+3 2− ( 1)

C =

1+ (−1)(−2) 0

=

0

2+ (− 1) 0 0 3+ (− 1)(− 1)

−3

2

1

=

2

0

.

Якщоматрицінеузгод,томнотакихженматрицьнеможливеіня.

1

Зправиламн

оженняматрицьвипливає,щозавждиможнаперемножитидвіквадратніматриціодного

по;врядкуезультатідістм немоогожрицюп .рядку

Операціямноженняматрицьнекомута,тобтопримноженніивматрицьможмінятимісцямиа

множники:

AB ≠ BA .Нап(рикладеревірте):

1 0 0 0 0 0 1 0

≠

.

0 0

1 0 1 0 0 0

Длядій

10 − 40 надматрицямивиконуютаківласзаумовисті(т,ьсящоказаніопераціїмають

зміст):

а) ( AB)C = A(BC);б)

(α A) B = A(αB) =α ( AB);

в) ( A + B)C = AC + BC ;г)

C ( A + B) = CA +CB ;

д)

A =O

O A

O ;е)

A E = E A = A .

а)Нехай A = (atk )

, B = (btk )

s× p

, C = (ctk )

–

m×s

p×n

матрицівказанихрозмінностей.Введемопозначення:

AB =U = (utk )m× p , BC =V = (vtk )s×n ,

( AB)C =UC = Q = (qtk )

m×n

, A(BC) = AV = D = (dtk )

.

m×n

Доведемо,що

( AB)C = A(BC),тобтопокажемо,що

Q = D .Дляцього

знайвиразидляемо

qtk та

p

p

s

p

s

qtk

= ∑utj cjk

= ∑(∑atr brj )cjk

= ∑∑atr brj cjk ,

j =1

j =1 r =1

j =1 r =1

s

s

p

s

p

p

s

dtk

= ∑atr vrk

= ∑atr (∑brj cjk ) = ∑∑atr brj cjk

=∑∑atr brj cjk , t {1,..., m}, k {1,..., n}.

r =1

r =1

j =1

r =1 j =1

j =1 r =1

Звідсивипливає,що

Q = D .

в)Нехай

A = (atk )

, B = (btk

)

, C = (ctk

)

s×n

.

Введемопозначення:

m×s

m×s

A + B = U = (utk )

, AC = V = (vtk )

, BC = Q = (qtk

)

,

m×s

m×n

m×n

UC = D = (dtk )

, V + Q = F = ( ftk

)

.

m×n

m×n

Потрібнодовести,що

D = F ,тобтощ

о d

tk

= f

tk

длядовільних

t 1,..., m , k 1,..., n

.Враховуючи

{

}

{

}

позн,ма: ємочення

s

s

s

dtk = ∑utj cjk = ∑(atj + btj )cjk = ∑(atj cjk + btj cjk ) =

j =1

j =1

j =1

s

s

= ∑atj cjk

+ ∑btj cjk =vtk

+ qtk

= ftk

j =1

j =1

для всіх

t {1,..., m}, k {1,..., n}.Отже,

( A + B)C = AC + BC ,

щойпотрібнобулодовести.

Крім розглянутосновнопернадмихційтрицямизастосовуєтьсящеоднаоперація

– транспонування

матриць.

Транспонуваннямматриці

A називаєтьсятакеїїперетв,приякомурядкицієїренняматриці

A позначаєтьсясимволом

At .

стаюстовпцямиз жимиьномерами.

Транспонованаматрицядоматриці

Сумаідобуматадриціомакбунатчислорицьоктранспонуютьсязатакимиправилами:

1. Длябудь

-якихматриць

A і B одногопорядку

( A + B)t = At + Bt .

2. Якщовизначенийдобуматокриць

A і B ,то

( AB)t = Bt At .

3. Длякожноїматриці

A ібудь -якого числа λ

Доведемосправедливістьдругогоправила.Нехай

A = (aik )

, B = (bik ) .

m×n

n×s

Елемент,щор зміщуєтьсяв

i − томурядкута

k − томустовпціматриці

( AB)t ,дорівнюєелементу,якийстоїть

k − томурядкута

i − томустовпціматриці

AB ,тобтомаєвигляд

ak1b1i + ak 2b2i + ... + aknbnk .

Bt

Протецейви

разєсумоюдобутків

( AB)t

елементів i − тогорядкаматриці

навідповіделемета ніти

k − тогостматрицівпця

A.t Отже,

= Bt At .

Метцьпараграфуоюгоєпобудоватеоріївизндовільногочниківпорядку

Тема2Визна.

чники

n.

2Визначники.1. другоготатретьогопорядків

n :

Розглянемодовільну

квадратну матрицюпорядку

a11

a12

...

a1n

A =

a

a

...

a

(1.1)

21

22

...

2 n .

... ...

...

a

a

...

a

n1

n 2

nn

Якщопорядок

n матриці(1дорівнює.1)одиниці,томатрицясклада

єтьсязодногоелемента

a11 і

a11

a12

= a a − a a .

a21

a22

11

22

12

21

Числа a11 , a12 , a21 , a22 називаються елементами визначникадругогопорядку.

Елементизоднаковпершим

індексомутворюютьрядкивизначника, однаковимдругиміндексом

— стовпчикивизначника.Діагональ,

якаутворенаелементами

a11 , a22 називається головною,адіагональ,утворенаелементами

a12 , a21 — побічною.

Визначникомтретьогопорядку,

щовідповідаєматриці

a11

a12

a13

A =

a

a

a

,

(1.3)

21

22

23

a

a

a

називаєтьсячисло

31

32

33

a11a22a33 + a21a32 a13 + a12 a23a31 − a31a22 a13 − a21a12 a33 − a32 a23a11 ,

яке позначаютьсимволом

V

a11

a12

a13

= det A =

a21

a22

a23

.

a31

a32

a33

a11

a12

a13

a21

a22

a23

= a11a22 a33 + a21a32 a13 + a12 a23a31 −

a31

a32

a33

Поняттяелементів,рядків,сто,діагоналейпчиків,введенідлявизначниківдругогопорядку,пра ильні

−a31a22a13 − a21a12a33 − a32a23a11.

йдлявизначниківтретьогопорядку.

Законутворе

ннявизначникатретьогопорядкуізелементівматриці(

1.3) виявляється нескладним, якщо

йогоподати

схематично:

Набір(1називають.4)так

ож впорядкованоюперестановкою

.Змінюючирізнимспособамивзаємне

розміщенняелементів(1отримаємо.4),іншіперестановки.

l ,l

,...,l

)

,

1 ≤ i, j,..., k ≤ n

)

Взаємнерозташуванняелементівперестановці

( i

j

k

(

визначається,

очевидперестановкою, і дексів

i,

j,..., k .Томувсівластивостіперестановокіз

1,..., n.

n

символівожна

встановити,вивчаючиперестановкимножиниперших

n натуральнихчисел

Теорема. Кількістьрізнихперес

тановокіз

n символівдорівнює

n!

Доведення.

Будь-яка перестановка із

n символів маєвигляд

(i , i ,

, in ),декожнеіз

is єодниміз

чисел 1, 2,..., n іжоднезчисзустрілдвічі. ається

За i1 можнавзятибудь

1 2

K -якеізчисел

1, 2,..., n ; цедає n

різнихможлив.Якщостей

i1

ужевибрано,то

за i2 можнавзятиоднеіз

(n −1) чисел,щоза ,ишилисятобто

кількістьрізнихспособіввиборусимволів

i1

та i2

дорівнює n (n −1) іт.д.

Отже,всріперестановокзних

n

символівє

n(n −1)(n − 2)L 2 1

n!

Теорема доведена.

.

Якщовдеякійперестапомінбудьсцямиовціяти

-якідваїїелементиза(умов,щовсііншіелементи

залишаютьсянамісці),тоотримаємоновуперестановку.

Означення.

Транспозицієюперест

ановкиназиваєтьсятакеперетворенняцієїперест,колидвїїановки

елементиміняютьсямісцями,аіншіелемезалишаютьсянтиерухомими.

n симожнаволіврозта,щокшуватикжн

Теорема. Всі n! перестановокіз

анаступна

перестановкаодержуєзпопередньоїоднієюранспься,причоташувозицієюможнапочинатиз ння

будь-якоїперестановки.

Доведення проведемометодомматеіндукції.атичної

При n = 2 теоремасправедлива:розташуванняпереста

новок (1, 2),(2,1) та (2,1),(1, 2) задовольняють

вимтеогиреми

.

Припусти,щотеоремао

справедлива для

n −1 ≥ 2 ,ідоведемо

,щовсправедливанадля

n .Нехай

(l1 ,l2 ,...,ln ) – довільна,алезафіксованаперестановка

n

елементів.Розглянемовсіперестановки

n

елементів,уякихпершимсимволомє

l1 .Їх є (n −1) !

Починаючизперес

тановки

(l2 ,l3 ,...,ln ),розташуємовідпдовимтевідновсіпргерестановкимиз

n −1 елементів

l2 ,l3 ,...,ln (згідноприпущенняміндукції,цеможназробити)Потім. ,кожнійцих

перестановокпершимїї

елементомдопишемо

l1 .Дістанеморозташуваннявсіхперестановок

n елементів,уякихнапершомумісцірозміщується

l1 .Уперестановціз

n елементів,щоєостанньоювцьому

розташув,виконтранспсимволівнніє зицію

l1 і

l2 .Дістанемоперестановкуз

n елементів,уякійна

першомумісцістоїтьелемент

l2 .Починаючизцієїперестановки,розташуємоопивищеанимпособом

потрібномупорядкувсіперестановкиз

n елем,першимлементомнтівякихє

l2 .Пвостаннійтім

перестановцітранспонуємосимволи

l2

та l3

іт.д.Внаслідоктакихдійчерез

n кроківотримаємо

розташуваннявсіхперестановок

n елем,якзадовольняєентіввимтейпочинаєтьсягиремидо

вільно

вибраноїперестановки

(l1 ,l2 ,...,ln ).Теоремадоведена.

n елемедокожні перетівшоїцихстановкиамих

Наслідок Віддовільноїперестановкиіз

елементівможнаперейтизадопомогоюскінчен

ноїкількостітранс

позицій.

Означення.

Інверсієюперестановці(1називають.4)такерозміщеннядвохїїелементів,ко ементи

збільшиміндексомстоїтьлівішеелезмеіншимдексомта

.

Отже,інвчисловійрперестановціія

–

цетакерозташуваннядвохчисел,колибі ьше

число

розмлівішеменшогощується.

парною,якількістьщоінверсійунійпарна.Якщожкількістьінверсій

Перестановканазивається

непарна,топерестановкуназивають

непарною.

На,прикладерестановка

(1, 2,..., n) прибудь

-якому

n

парна,оскількінверсійунійиість

дорівнюєнулеві;перестановка

(3,8,5, 2, 4, 6, 7,1)

(n = 8) має15інверсій,аотже,єнепарною.

Теорема. Будь-якатранспозиціязмінюєпарністьперестановки.

Доведення.

Можливінастуд :п1)ніадки

елементи,якітран,єспонуютьсяусіднімиелементами

перестановки; елемент2),якітранспонуються,нерозміщуютьсяпоряд.Розглянемокоженцихвипадків

окремо.

1)Припустимо,щовперестановці

(...,i, j,...) виконанотранспозиціюсусідніх

символів i та

j .Після

трансотримаємоперестановкуозиції

(..., j,i,...).Вобохперестансимволивках

i

та j утворюютьоднійті

жінверсі їізсимв,щзалишаютьсяо наамимісці.Якщораніше

i

та j неутворювалиінверсії,топісля

j раніше

транспонувавоназ’явилася,тобтокількістьнверсійзбільшиласянянаодиницю.Якщо

i та

утворюінверсію,тотепералиозни,тобтокількістьаєінверсійнаодиницюєменш.Вобохю

випаперестановкирністьдкахзмінюється.

i

j розташовано s елементів,

s > 0 ,тобтоперестановкамаєвигляд

2)Нехайтеперміжсимволами

та

j

(...,i, k1 , k2 ,..., ks ,

j,...).

(1.5)

Транспозиціюсимволів

i

та

можнатриматизадопомогоюпослідвиконаннявного

2s +1

транспозиційсусідніхелементів.Оскількичисло

2s +1 непарне,топарністьперестановки(1протилежна.5)

допарностіперестано

вки (..., j, k1 , k2 ,..., ks ,i,...).Теоремадоведена.

Теорема. При n ≥ 2 кількістьпарнихперестановокіз

n символівдорк лькостівнюєнепарних,тобто

рівна

n!

.

2

n!

n

Доведення.

Розташуємоусі

всіперестанов

окз

симвтак,щолів

бпіслякожноїпарної

перестановкийшланепарна,яка

отримуєзпопередоднієютьсяра.Тьспозицієюкількістьдіїпарних

n!, цякількість

перестановокзбігаєтьсякількістюнепарних

перестаноі,зважокнапачисларністьючи

рівна

n!

.Теоремадоведена.

2

Підстановки.

Важлирольуматематицівуідіграєпоняттявідобрамно. жиення

Означення.

Непорожня множина A взаємнооднозначновідображаєтьсянепормножинуню

B ,

якожномущоелементу

a A задеякимправиломпоставленоувідповідністьодиодиншеелемент

b B ,причдворізниму

елемножиниентам

A відповідаютьдварізніелементимнож ни

B такожен

елементмножини

B відповідаєодноелемножиниенту

A .

також бієкцієюцихмножин.

Взаємнооднозначневідоб

раженнядвохнепормнназожиніхвають

Означення.

Довзаємноільоднозначневідобрамноп жршихениня

n − гостепеня.

n натурачиселбеьних

називаютьпідстановкоюцієїмножиниабопідстановкою

Наприклад,

5

1

4

3

2

– підстановка5

–гостепеня.Читаємо:

« 5відображаєтьсяпереходить( )

в

3

2

4

1

5

3; 1 відображається2;