Изотермическое расширение идеального газа

Рассмотрим один важный термодинамический процесс - изотермическое расширение идеального газа. Как известно, идеальным газом называют такой, для которого можно пренебречь потенциальной энергией взаимодействия между молекулами. Представим себе (см. рис.1), что в некотором цилиндре, закрытом поршнем, способным двигаться без трения, находится n молей идеального газа. Пусть в исходном состоянии газ имел объем V₁ и давление Р. Если к газу подводить тепло Q, то в результате его расширения объем будет увеличиваться. При Т = const внутренняя энергия U = 3NkT/2 = const (N - количество молекул, k - константа Больцмана. В этом случае из первого закона термодинамики следует, что изменение внутренней энергии равно нулю и все подводимое тепло расходуется на совершение работы Q = A. Элементарную работу, совершенную за очень малый промежуток времени, dt можно определить: dA = FS, где F - сила, действующая на поршень, а dX - элементарное (малое) перемещение поршня. Сила F выражается через давление газа Р и площадь поршня S: F = PS. Тогда: dA= PSdX. Произведение SdX представляет собой увеличение объема dV. Поэтому dA = PdV. Из уравнения состояния для идеального газа выразим величину давления: Р = =(nRT)/V и подставим в формулу для элементарной работы:

dA = (nRT/V) dV

Последнее соотношение определяет совершенную работу при изотермическом увеличении объема идеального газа на dV. Если газ расширяется от объема V₁ до V₂, всю работу можно определить, проинтегрировав последнее уравнение в

Рис. 1 пределах расширения от V₁ до V₂.

Таким образом, количество совершенной работы зависит от температуры идеального газа и соотношения объемов.

Воспользуемся полученным выражением для анализа реального процесса, который имеет важное биологическое значение. Пусть имеется объем V₂ растворителя в некотором сосуде (рис. 2). Если в части этого объема V₁, отграниченного перегородкой, растворена масса m некоторого вещества, то его концентрация в объеме V₁ равна С₁ = m/V₁. При устранении перегородки, молекулы растворенного вещества будут диффундировать по всему объему V₂. В первом приближении процесс диффузии можно рассматривать как изотермическое расширение идеального газа от объема V₁

до объема V₂, поcкольку молекулы растворенного вещества слабо взаимодействуют между собой. Когда вся масса m распределится по объему V₂, ее концентрацию можно выразить как С₂ = m/V₂.Если произошло расширение идеального

газа от объема V₁ до объема V₂ , совершенная работа будет

Рис. 2 равна :

А = n RT ln (V₂/V₁)

Выразим объемы через концентрации V1= m/C₁; V2 = m/C₂ и подставим в формулу для работы

А = n RT ln(m C₁/m C₂) = n RT ln (C₁/C₂)

Количество совершенной работы зависит от соотношения концентраций между частями системы в исходном состоянии. Полученное выражение имеет важное значение для биологических систем.

Как известно, концентрация веществ в любой клетке отличается от концентрации в окружаюшей среде. Для получения таких состояний (неравновесных концентраций) необходимо совершить работу, величина которой определяется полученной выше формулой. Другими словами, создание и сохранение неравновесных концентраций в клетках всех тканей требует энергетических затрат организма. По расчетам для этой цели необходимо до 60% общей потребности организма в энергии. С другой стороны, полученная формула позволяет рассчитать, какую работу необходимо затратить клетке или органу для того чтобы создать неравновесную концентрацию. К примеру, в почках из крови в мочу выводятся продукты обмена, оказывающие токсическое воздействие на организм.