2. Лінійно залежні та лінійно незалежні системи векторів.

Розглянемо довільний векторний простір . Зафіксуємо в ньому деяку підмножину (систему) векторів

. З означення операцій над векторами цього простору випливає можливість утворювати лінійні комбінації векторів, тобто – лінійна комбінація векторів простору . Числа називають коефіцієнтами лінійної комбінації.

Означення 7. Лінійна комбінація називається тривіальною, якщо всі її коефіцієнти рівні нулю.

Зауваження. Очевидно, що тривіальна лінійна комбінація – це нульовий вектор.

Означення 8. Система векторів називається лінійно незалежною, якщо лише тривіальна лінійна комбінація векторів цієї системи рівна нуль-вектору.

Зауваження. Іншими словами, система векторів лінійно незалежна, якщо з того, що випливає: .

Означення 9. Система векторів називається лінійно залежною, якщо існує нетривіальна лінійна комбінація векторів цієї системи, рівна нуль-вектору.

Приклади.

1. – лінійно залежна система, оскільки існує нетривіальна лінійна комбінація .

2. Нехай . Тоді – лінійно незалежна система, оскільки з рівності обов’язково випливає, що .

3. Нехай та два ненульових не колінеарних геометричних вектора. Тоді – лінійно незалежна система векторів. Доведемо це від супротивного, тобто припустимо існування деякої нетривіальної лінійної комбінації цих векторів, яка рівна нулю: . Нехай тут . Тоді , що означає колінеарність векторів. Одержана суперечність свідчить про лінійну незалежність системи векторів .

3. Властивості лінійно залежних та лінійно незалежних систем векторів.

1. Система векторів , серед яких є нуль-вектор – лінійно залежна.

Доведення. Дійсно, нехай маємо систему векторів , причому . Розглянемо лінійну комбінацію з коефіцієнтами . Вона нетривіальна, проте, вочевидь, рівна нуль-вектору.

2. Критерій лінійної залежності векторів. Для того, щоб система векторів була лінійно залежною, необхідно та достатньо, щоб принаймні один із векторів системи був лінійною комбінацією інших.

Доведення. (Необхідність). Нехай система векторів лінійно залежна. Розглянемо деяку нетривіальну нульову лінійну комбінацію цих векторів: . Припустимо, що деякий коефіцієнт цієї комбінації, наприклад, (якщо ненульовим є інший коефіцієнт – перенумеруємо вектори та коефіцієнти відповідним чином ). Тоді маємо – вектор є лінійною комбінацією інших векторів системи.

(Достатність). Нехай, наприклад, . Тоді маємо нетривіальну лінійну комбінацію цих векторів, рівну нуль-вектору: .

3. Якщо серед векторів системи є лінійно залежна підсистема із яких-небудь векторів, то і вся система – лінійно залежна.

Доведення. Вважатиме, що перші векторів системи утворюють лінійно залежну систему і розглянемо їх нульову нетривіальну лінійну комбінацію . Тоді лінійна комбінація векторів всієї системи є також нетривіальною, проте рівною нуль-вектору.

4. Будь-яка підсистема векторів лінійно незалежної системи – лінійно незалежна.

Доведення. Від супротивного припустимо протилежне: Нехай деякі векторів системи є лінійно залежними. Тоді, згідно властивості 3, вся система є також лінійно залежною, що суперечить умові.

Означення 10. Векторний простір називається -вимірним, якщо в ньому існує лінійно незалежна система із векторів, а будь-які векторів утворюють лінійно залежну систему. Таким чином, число визначає вимірність простору.

Для підкреслення вимірності векторного простору будемо позначати його .

Означення 11. Векторний простір називається нескінченно вимірним, якщо в ньому можна вибрати довільну кількість векторів, які утворюють лінійно незалежну систему.

Приклади.

1. У просторі, що складається лише з нуль вектора, не існує лінійно незалежних векторів, тому вимірність цього простору рівна нулю.

2. Множина геометричних векторів, колінеарних фіксованому вектору , разом з нуль-вектором утворює одновимірний простір. Доведіть це самостійно.

3. Вимірність простору всіх геометричних векторів рівна 3. Адже вектори декартової системи координат лінійно незалежні, а будь-який вектор може бути записаний у вигляді їх лінійної комбінації.

4. Множина поліномів порядку, що не перевищує , утворює простір вимірності . Дійсно поліномів утворюють лінійно-незалежну систему, а будь-який інший поліном порядку не більшого за , є їх лінійною комбінацією.