Лекція 1. Простір геометричних векторів. Векторний простір.

1. Вектори. Операції з векторами.

Означення 1. Геометричним вектором називатимемо напрямлений відрізок у тривимірному просторі.

Отже, вектор характеризується напрямком та довжиною і цілком визначається двома точками: одна задає початок вектора, друга – його кінець. Як відомо, аналітично вектори позначаються цими двома точками, наприклад, вектор .

Означення 2. Два геометричних вектори називаються рівними, якщо вони мають однакову довжину та напрямок – тобто лежать на паралельних прямих. (Це так звані вільні вектори з довільною точкою прикладення. У фізиці, крім них розглядаються ще ковзні вектори, тобто напрямлені вздовж однієї прямої).

Отже рівні вектори можуть бути суміщені паралельним перенесенням, тобто точка-початок вектора не є визначальною, тому інколи вектор позначають однією літерою, наприклад, вектор або .

Означення 3. Нуль-вектором називають вектор , який має нульову довжину та невизначений напрямок.

Означення 4. Протилежним вектором до вектора називають вектор , такий що .

Означення 5. Вектори та називаються колінеарними (позначається цей факт так: ), якщо вони лежать на паралельних прямих.

У множині геометричних векторів визначені лінійні операції над ними – додавання векторів та множення вектора на скаляр (дійсне число). Правила визначення результуючого вектора при цих операціях добре відомі зі шкільної програми, тому не будемо тут їх повторювати. Зауважимо лише властивості цих операцій над геометричними векторами:

1. комутативність операції додавання: ;

2. асоціативність операції додавання: ;

3. існування нульового елементу (нуль-вектору): ;

4. існування протилежного елементу: ;

5. асоціативність множення на скаляр: ;

6. властивість множення на одиницю: ;

7. дистрибутивність відносно множення на скаляр: ;

8. дистрибутивність відносно додавання векторів: .

Виявляється, що множина геометричних векторів є лише однією з реалізацій, моделлю більш загального математичного поняття – лінійного або векторного (на цей час для нас ці слова будуть синонімами!) простору. Дамо його точне означення.

Означення 6. Деяку множину елементів будемо називати векторним або лінійним простором над полем дійсних чисел, якщо в цій множині визначені операції додавання (+) елементів та множення (∙) елементу на число:

1. 

2. 

причому ці операції задовольняють наступні 8 аксіом:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. .

Зауваження. Якщо замість поля дійсних чисел всі вимоги сформульовані для поля комплексних чисел , то маємо векторний простір над полем комплексних чисел, або комплексний векторний простір.

Всі елементи векторного простору називають векторами (інколи незважаючи на природу цих елементів).

Наведемо деякі приклади векторних просторів.

1. Множина дійсних чисел сама утворює векторний простір над полем дійсних чисел.

2. Множина комплексних чисел – комплексний векторний простір.

3. Множина квадратних матриць порядку .

4. Множина поліномів порядку, що не перевищує .

5. Нуль-вектор утворює векторний простір і над полем дійсних і над полем комплексних чисел.

Зауваження. Із аксіом векторного простору випливає низка наслідків (наприклад, єдиність нульового та протилежного елементів та ряд інших). Всі вони детально будуть розглянуті пізніше.